Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a^ 2 + b ^2 + c^ 2 = a + 2b + 3c…
Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán nâng cao rất hay về số thực. Dù bài toán này đòi hỏi tư duy biến đổi đại số tinh tế, thường gặp ở các lớp cao hơn, nhưng nếu nắm vững phương pháp, các em hoàn toàn có thể hiểu được.
Phân tích đề bài:
Bài toán cho chúng ta hai phương trình với ba ẩn số a, b, c và yêu cầu tính tích của ba số này. Nhìn vào các số hạng 1, 2, 3 gắn với a, b, c và số 14 ở vế phải, chúng ta nghĩ ngay đến phương pháp tách, ghép các biểu thức thành các bình phương hoàn hảo. Đây là một kỹ thuật quen thuộc khi biến đổi hằng đẳng thức đáng nhớ mà các em đã được học ở lớp 8.
Các bước giải chi tiết:
- Bước 1: Chuyển vế và nhóm các hạng tử.
- Bước 2: Kết hợp hai phương trình bằng phương pháp nhân hệ số.
- Bước 3: Tách và tạo lập các hằng đẳng thức.
- Bước 4: Thu gọn thành các bình phương.
- Bước 5: Tìm giá trị của từng ẩn a, b, c.
- a trừ 1 bằng 0 suy ra a bằng 1
- b trừ 2 bằng 0 suy ra b bằng 2
- c trừ 3 bằng 0 suy ra c bằng 3
- Bước 6: Tính giá trị biểu thức T.
Từ giả thiết thứ nhất, ta giữ nguyên vế trái: a bình phương cộng b bình phương cộng c bình phương bằng 14.
Từ giả thiết thứ hai, ta chuyển tất cả các số hạng sang một vế để tạo thành phương trình bằng 0: a cộng 2b cộng 3c trừ 14 bằng 0.
Ta nhân phương trình thứ hai với số 2, ta được: 2a cộng 4b cộng 6c trừ 28 bằng 0.
Bây giờ, ta lấy phương trình chứa các bình phương trừ đi phương trình vừa nhân, kết hợp với số 14 từ giả thiết đầu tiên: (a bình phương + b bình phương + c bình phương) – (2a + 4b + 6c – 28) = 14 – 14.
Rút gọn phương trình trên, ta được: a bình phương + b bình phương + c bình phương – 2a – 4b – 6c + 28 = 0.
Ta tách số 28 thành các số 1, 4, 9 (vì 1 cộng 4 cộng 9 bằng 14, kết hợp với 14 ban đầu là đủ 28). Nhóm các số hạng chứa ẩn a, b, c lại với nhau như sau:
(a bình phương trừ 2a cộng 1) cộng (b bình phương trừ 4b cộng 4) cộng (c bình phương trừ 6c cộng 9) bằng 0.
Áp dụng hằng đẳng thức lớp 8, ta thu được ba bình phương hoàn hảo cộng lại với nhau bằng 0:
(a trừ 1) tất cả bình phương cộng với (b trừ 2) tất cả bình phương cộng với (c trừ 3) tất cả bình phương bằng 0.
Vì các bình phương của mọi số thực luôn lớn hơn hoặc bằng 0, tổng của ba bình phương bằng 0 khi và chỉ khi đồng thời các biểu thức bên trong bằng 0:
Đề bài yêu cầu tính tích T = a nhân b nhân c.
Thay các giá trị vừa tìm được vào, ta có: T bằng 1 nhân 2 nhân 3 bằng 6.
Kết luận:
Vậy giá trị cần tìm của biểu thức T là 6.
Qua bài toán này, thầy/cô hy vọng các em thấy được sức mạnh của việc vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức đáng nhớ để giải quyết các bài toán tìm giá trị ẩn số. Chúc các em luôn học tốt môn Toán!
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai dãy số \((1,\) \(2,\) \(3)\) và \((a,\) \(b,\) \(c)\) ta có\(:\)
\((a+2b+3c)^{2}\) \(\leq\) \((1+4+9)(\)\(a^{2}\)\(+\)\(b^{2}\)\(+\)\(c^{2}\)\()\)\(=\)\(14.14\) \(=\)\(196\)
Dấu \(=\) xảy ra khi\(:\) \(\frac{a}{1}\)\(=\)\(\frac{b}{2}\)\(=\) \(\frac{c}{3}\) \(=\) \(k\)
\(⇒\) \(a\) \(=\) \(k;\) \(b\) \(=\) \(2k;\) \(c\) \(=\) \(3k\)
Khi đó\(:\) \(k\) \(+\) \(4k\) \(+\) \(9k\) \(=\) \(14\) \(⇒\) \(k\) \(=\) \(1\)
\(⇒\) \(a\) \(=\) \(1;\) \(b\) \(=\) \(2;\) \(c\) \(=\) \(3\)
Vậy \(T\) \(=\) \(abc\) \(=\) \(1.2.3\) \(=\) \(6\)
\(a^2+b^2+c^2=a+2b+3c=14\)
\(=>a^2+b^2+c^2=14\)
\(=>a+2b+3c=14\)
Xét: \((a-1)^2+(b-2)^2+(c-3)^2\)
\(=a^2-2a+1+b^2-4b+4+c^2-6c+9\)
\(=a^2+b^2+c^2-2a-4b-6c+14\)
\(=(a^2+b^2+c^2)-2(a+2b+3c)+14\)
\(=14-2.14+14\)
\(=0\)
Vì \((a-1)^2>=0\)
\((b-2)^2>=0\)
\((c-3)^2>=0\)
nên \((a-1)^2=(b-2)^2=(c-3)^2=0\)
\(=>a=1, b=2, c=3\)
Vậy \(T=abc=1.2.3=6\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment