Đây là một bài toán rất thú vị liên quan đến tính chẵn lẻ của các số nguyên. Đừng lo lắng nhé, thầy/cô sẽ hướng dẫn em từng bước một cách chi tiết nhất!

Bài toán: Cho \(a, b, c \in \mathbb{Z}\); chứng minh rằng \(\left|a – b\right| + \left|b – c\right| + \left|c – a\right| \vdots 2\).

Lời giải chi tiết:

Để chứng minh một biểu thức chia hết cho 2, chúng ta cần chứng minh biểu thức đó luôn là một số chẵn.

Trước hết, chúng ta hãy nhớ lại một quy tắc rất quan trọng về tính chẵn lẻ của số nguyên và giá trị tuyệt đối:

1. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên \(X\) (kí hiệu là \(\left|X\right|\)) sẽ luôn có cùng tính chẵn lẻ với chính số \(X\).

• Nếu \(X\) là một số chẵn, thì \(\left|X\right|\) cũng là một số chẵn. (Ví dụ: \(X = 4\) là số chẵn, \(\left|4\right| = 4\) là số chẵn; \(X = -6\) là số chẵn, \(\left|-6\right| = 6\) là số chẵn).
• Nếu \(X\) là một số lẻ, thì \(\left|X\right|\) cũng là một số lẻ. (Ví dụ: \(X = 3\) là số lẻ, \(\left|3\right| = 3\) là số lẻ; \(X = -5\) là số lẻ, \(\left|-5\right| = 5\) là số lẻ).

Với quy tắc này, chúng ta sẽ áp dụng cho từng thành phần trong biểu thức của bài toán:

• Số hạng \(\left|a – b\right|\) sẽ có cùng tính chẵn lẻ với hiệu số \((a – b)\).
• Số hạng \(\left|b – c\right|\) sẽ có cùng tính chẵn lẻ với hiệu số \((b – c)\).
• Số hạng \(\left|c – a\right|\) sẽ có cùng tính chẵn lẻ với hiệu số \((c – a)\).

Điều này có nghĩa là, tổng \(\left|a – b\right| + \left|b – c\right| + \left|c – a\right|\) sẽ có cùng tính chẵn lẻ với tổng \((a – b) + (b – c) + (c – a)\).

Bây giờ, chúng ta hãy xét tổng của ba hiệu số này (khi chưa lấy giá trị tuyệt đối) nhé:

\(\qquad (a – b) + (b – c) + (c – a)\)

Chúng ta sẽ thực hiện phép tính cộng các số hạng này:

\(\qquad = a – b + b – c + c – a\)

Hãy nhóm các số hạng lại:

\(\qquad = (a – a) + (-b + b) + (-c + c)\)

\(\qquad = 0 + 0 + 0\)

\(\qquad = 0\)

Như vậy, tổng của ba hiệu số \((a – b) + (b – c) + (c – a)\) luôn bằng 0.

Mà số 0 là một số chẵn (vì 0 chia hết cho 2).

Vì tổng \(\left|a – b\right| + \left|b – c\right| + \left|c – a\right|\) có cùng tính chẵn lẻ với tổng \((a – b) + (b – c) + (c – a)\), và tổng \((a – b) + (b – c) + (c – a)\) là một số chẵn (bằng 0), thì suy ra:

Biểu thức \(\left|a – b\right| + \left|b – c\right| + \left|c – a\right|\) cũng phải là một số chẵn.

Một số chẵn thì luôn chia hết cho 2.

Vậy, \(\left|a – b\right| + \left|b – c\right| + \left|c – a\right| \vdots 2\).

Đây chính là điều mà chúng ta cần chứng minh.

Thầy/cô hy vọng lời giải này sẽ giúp em hiểu rõ hơn về bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại nhé!