Cho a, b, c ∈ Z; chứng minh |a – b| + |b – a| + |c – a| ⋮ 2 giúp em…
giúp em với, em đọc mà không biết làm
Chào em, thầy rất vui khi thấy em chủ động tìm hiểu về các bài toán về giá trị tuyệt đối và tính chia hết. Đây là dạng bài tập rất hay giúp em rèn luyện tư duy logic trong chương trình Toán lớp 7.
Để giải bài toán này, trước hết em cần nắm vững một tính chất quan trọng của giá trị tuyệt đối: Khoảng cách giữa hai số a và b là |a – b| cũng chính bằng |b – a|. Điều này có nghĩa là |a – b| và |b – a| luôn bằng nhau.
Bây giờ, chúng ta hãy cùng phân tích biểu thức theo các bước sau đây:
Bước 1: Rút gọn biểu thức
Vì |a – b| = |b – a|, nên biểu thức ban đầu có thể được viết lại như sau:
|a – b| + |b – a| + |c – a| = 2 * |a – b| + |c – a|
Bước 2: Phân tích tính chẵn lẻ của biểu thức
Để chứng minh một biểu thức chia hết cho 2, ta cần chứng minh tổng đó là một số chẵn. Ta xét hai thành phần trong biểu thức vừa rút gọn:
- Thành phần thứ nhất: 2 * |a – b|. Vì có thừa số là 2, nên dù |a – b| là số nào thì 2 * |a – b| chắc chắn là một số chẵn.
- Thành phần thứ hai: |c – a|. Đây chính là điểm mấu chốt.
Bước 3: Sử dụng tính chất của hiệu hai số nguyên
Trong toán học, có một tính chất rất thú vị: Hiệu của hai số nguyên (a – b) luôn có cùng tính chẵn lẻ với tổng của chúng (a + b). Cụ thể hơn, hiệu (a – b) sẽ cùng tính chẵn lẻ với (a + b), và quan trọng nhất là (a – b) và (a + b) luôn có cùng số dư khi chia cho 2.
Tuy nhiên, cách đơn giản hơn để em hiểu là: |c – a| chính là khoảng cách giữa c và a. Nếu ta xét biểu thức tổng quát hơn là |a – b| + |b – c| + |c – a|, thì tổng này luôn là số chẵn. Nhưng với đề bài của em, hãy nhìn vào biểu thức: 2 * |a – b| + |c – a|.
Bước 4: Kết luận
Để biểu thức 2 * |a – b| + |c – a| chia hết cho 2, thì |c – a| bắt buộc phải là một số chẵn. Nhưng nếu đề bài của em là |a – b| + |b – c| + |c – a|, thì chắc chắn nó sẽ chia hết cho 2 vì tổng của ba hiệu đó luôn là số chẵn.
Lời khuyên cho em: Em hãy kiểm tra lại đề bài xem có phải là |a – b| + |b – c| + |c – a| không nhé! Nếu đúng là đề đó, em chỉ cần lập luận rằng:
- |a – b| cùng tính chẵn lẻ với (a – b)
- |b – c| cùng tính chẵn lẻ với (b – c)
- |c – a| cùng tính chẵn lẻ với (c – a)
- Tổng của chúng: (a – b) + (b – c) + (c – a) = 0, mà 0 là số chẵn nên tổng các giá trị tuyệt đối cũng phải là số chẵn (chia hết cho 2).
Hy vọng phần giải thích này giúp em hiểu rõ bản chất vấn đề. Nếu đề bài chính xác là như vậy, em hãy áp dụng cách cộng các hiệu lại với nhau nhé!
\(\text{Xét biểu thức: } A = |a – b| + |b – c| + |c – a|\)
\(|x| \equiv x \mod 2 => |x\| – x \vdots 2\)
\(=>A – [(a – b) + (b – c) + (c – a)] \vdots 2\)
\((a – b) + (b – c) + (c – a) = 0\)
\(=>A – 0 \vdots 2\)
\(=>A \vdots 2\)
Với mọi số nguyên \(x\) , \(|x\) và chính số đó \(x\) luôn cùng tính hcawnx lẽ .
Điều này có nghĩa là \(|x|-x\) luôn là một số chẵn .
Do đó , ta có :
\(|a-b|\equiva-b(mod2)\)
\(|b-c|\equivb-c(mod2)\)
\(|c-a|\equivc-a(mod2)\)
Cộng vế theo vế ta có :
\(|a-b|+|b-c|+|c-a|\equiv(a-b)+(b-c)+(c-a)(mod2)\)
\((a-b)+(b-c)+(c-a)=a-b+b-c+c-a=0\)
Vì \(0\vdots2\) , nên tổng tất cả các giá trị tuyệt đối ban đầu cũng phải \(\vdots2\)
\(=>(|a-b|+|b-c|+|c-a|)\vdots2(đpcm)\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment