Bài toán của chúng ta là:

Cho \(a, b\) là các số dương thỏa mãn \(a^{100} + b^{100} = a^{101} + b^{101} = a^{102} + b^{102}\). Tính \(P = a^{2026} + b^{2026}\).

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi từng bước một.

Bước 1: Phân tích điều kiện bài toán

Chúng ta có ba biểu thức bằng nhau:
1. \(a^{100} + b^{100} = a^{101} + b^{101}\)
2. \(a^{101} + b^{101} = a^{102} + b^{102}\)

Từ hai đẳng thức này, chúng ta có thể rút ra một số mối quan hệ quan trọng giữa \(a\) và \(b\).

Bước 2: Biến đổi đẳng thức thứ nhất

Xét đẳng thức: \(a^{100} + b^{100} = a^{101} + b^{101}\)

Chúng ta có thể viết lại như sau:
\(a^{101} – a^{100} + b^{101} – b^{100} = 0\)

Rút \(a^{100}\) và \(b^{100}\) ra làm nhân tử chung:
\(a^{100}(a – 1) + b^{100}(b – 1) = 0\) (Phương trình 1)

Bước 3: Biến đổi đẳng thức thứ hai

Xét đẳng thức: \(a^{101} + b^{101} = a^{102} + b^{102}\)

Chúng ta có thể viết lại như sau:
\(a^{102} – a^{101} + b^{102} – b^{101} = 0\)

Rút \(a^{101}\) và \(b^{101}\) ra làm nhân tử chung:
\(a^{101}(a – 1) + b^{101}(b – 1) = 0\) (Phương trình 2)

Bước 4: Kết hợp hai phương trình để tìm mối quan hệ giữa a và b

Bây giờ chúng ta có hệ hai phương trình với hai ẩn \(a\) và \(b\):
(1) \(a^{100}(a – 1) + b^{100}(b – 1) = 0\)
(2) \(a^{101}(a – 1) + b^{101}(b – 1) = 0\)

Do \(a, b\) là các số dương, nên \(a^{100} > 0\) và \(b^{100} > 0\).
Tương tự, \(a^{101} > 0\) và \(b^{101} > 0\).

Bây giờ, chúng ta hãy suy nghĩ xem điều gì sẽ xảy ra nếu \(a \neq 1\) và \(b \neq 1\).

Nếu \(a = 1\):
Từ (1): \(1^{100}(1 – 1) + b^{100}(b – 1) = 0 \Rightarrow b^{100}(b – 1) = 0\). Vì \(b > 0\), nên \(b – 1 = 0 \Rightarrow b = 1\).
Kiểm tra lại với điều kiện ban đầu: \(1^{100} + 1^{100} = 1^{101} + 1^{101} = 1^{102} + 1^{102}\) hay \(1+1 = 1+1 = 1+1\), điều này đúng.

Nếu \(b = 1\):
Tương tự, ta cũng suy ra \(a = 1\).

Vậy, một trường hợp có thể xảy ra là \(a = 1\) và \(b = 1\).

Bây giờ, chúng ta xét trường hợp \(a \neq 1\) và \(b \neq 1\).
Từ (1), ta có: \(b^{100}(b – 1) = -a^{100}(a – 1)\).
Từ (2), ta có: \(b^{101}(b – 1) = -a^{101}(a – 1)\).

Chia phương trình (2) cho phương trình (1) (lưu ý rằng \(a-1 \neq 0\) và \(b-1 \neq 0\), và \(b^{100} \neq 0\), \(b^{101} \neq 0\)):

\(\frac{b^{101}(b – 1)}{b^{100}(b – 1)} = \frac{-a^{101}(a – 1)}{-a^{100}(a – 1)}\)

\(b = a\)

Bây giờ, thay \(b = a\) vào phương trình (1):
\(a^{100}(a – 1) + a^{100}(a – 1) = 0\)
\(2a^{100}(a – 1) = 0\)

Vì \(a > 0\), nên \(a^{100} \neq 0\). Do đó, ta phải có \(a – 1 = 0\), suy ra \(a = 1\).
Nếu \(a = 1\), thì \(b = a = 1\).

Như vậy, dù xét theo cách nào, chúng ta đều đi đến kết luận rằng:

\(a = 1\) và \(b = 1\)

Bước 5: Tính giá trị của P

Chúng ta cần tính \(P = a^{2026} + b^{2026}\).
Với \(a = 1\) và \(b = 1\), ta có:

\(P = 1^{2026} + 1^{2026}\)

\(P = 1 + 1\)

\(P = 2\)

Vậy, giá trị của biểu thức \(P\) là 2.

Kết luận: Với các điều kiện đã cho, ta tìm được \(a = 1\) và \(b = 1\). Từ đó, tính được \(P = a^{2026} + b^{2026} = 2\).

Các em thấy bài toán này có thú vị không nào? Việc phân tích cẩn thận các điều kiện và biến đổi đại số sẽ giúp chúng ta tìm ra lời giải. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em hãy mạnh dạn hỏi nhé!