Chào các em học sinh lớp 9,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán liên quan đến biểu thức chứa căn thức. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm giá trị của \(x\) sao cho tích của hai biểu thức \(A\) và \(B\) không nhỏ hơn 2.

Đề bài: Cho \(A= \dfrac{x+7}{\sqrt{x}}\) và \(B=\dfrac{3-5\sqrt{x}}{x-9}+\)\(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}\). Với điều kiện \(x \ne 9\) và \(x > 0\), tìm \(x\) để \(A.B \geq 2\).

Phân tích bài toán:

Chúng ta cần tìm \(x\) thỏa mãn bất phương trình \(A.B \geq 2\). Để làm được điều này, trước hết chúng ta cần rút gọn biểu thức \(B\), sau đó tính tích \(A.B\) và cuối cùng giải bất phương trình.

Bước 1: Rút gọn biểu thức B

Ta có:

\(B=\dfrac{3-5\sqrt{x}}{x-9}+\)\(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}\)

Nhận thấy mẫu số \(x-9\) có thể phân tích thành \((\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)\). Ta sẽ quy đồng mẫu số:

\(B = \dfrac{3-5\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} + \dfrac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}\)

Bây giờ, ta sẽ cộng hai phân thức lại:

\(B = \dfrac{(3-5\sqrt{x}) + (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}\)

Ta khai triển tử số:

\((\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + 3\sqrt{x} – 1\sqrt{x} – 3 = x + 2\sqrt{x} – 3\)

Vậy, tử số của \(B\) là:

\(3-5\sqrt{x} + x + 2\sqrt{x} – 3 = x – 3\sqrt{x}\)

Do đó, biểu thức \(B\) trở thành:

\(B = \dfrac{x – 3\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}\)

Ta có thể đặt \(\sqrt{x}\) làm nhân tử chung ở tử số:

\(B = \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x} – 3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}\)

Với điều kiện \(x \ne 9\), tức là \(\sqrt{x} \ne 3\), ta có thể rút gọn \(\sqrt{x}-3\):

\(B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\)

Bước 2: Tính tích A.B

Ta có \(A= \dfrac{x+7}{\sqrt{x}}\) và \(B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\).

Tích \(A.B\) là:

\(A.B = \dfrac{x+7}{\sqrt{x}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\)

Với điều kiện \(x > 0\), \(\sqrt{x} \ne 0\), ta có thể rút gọn \(\sqrt{x}\):

\(A.B = \dfrac{x+7}{\sqrt{x}+3}\)

Bước 3: Giải bất phương trình A.B \(\geq\) 2

Ta cần giải bất phương trình:

\(\dfrac{x+7}{\sqrt{x}+3} \geq 2\)

Chuyển 2 sang vế trái:

\(\dfrac{x+7}{\sqrt{x}+3} – 2 \geq 0\)

Quy đồng mẫu số:

\(\dfrac{x+7 – 2(\sqrt{x}+3)}{\sqrt{x}+3} \geq 0\)

Khai triển tử số:

\(x+7 – 2\sqrt{x} – 6 = x – 2\sqrt{x} + 1\)

Vậy, bất phương trình trở thành:

\(\dfrac{x – 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}+3} \geq 0\)

Ta nhận thấy tử số \(x – 2\sqrt{x} + 1\) chính là bình phương của \((\sqrt{x}-1)\), tức là \((\sqrt{x}-1)^2\).

Mẫu số \(\sqrt{x}+3\). Vì \(x > 0\), nên \(\sqrt{x} > 0\), do đó \(\sqrt{x}+3 > 3 > 0\). Mẫu số luôn dương.

Do đó, bất phương trình trở thành:

\(\dfrac{(\sqrt{x}-1)^2}{\sqrt{x}+3} \geq 0\)

Vì mẫu số \(\sqrt{x}+3\) luôn dương và tử số \((\sqrt{x}-1)^2\) luôn không âm (\(\geq 0\)), nên bất phương trình này luôn đúng với mọi \(x\) thỏa mãn điều kiện ban đầu.

Tuy nhiên, chúng ta cần xem xét lại điều kiện để \(\sqrt{x}-1\) có thể bằng 0. Điều này xảy ra khi \(\sqrt{x} = 1\), tức là \(x = 1\).

Ngoài ra, chúng ta cũng cần nhớ lại các điều kiện đã đặt ra ở đầu bài:

• \(x > 0\)
• \(x \ne 9\)

Kết hợp các điều kiện này, ta có:

Tử số \((\sqrt{x}-1)^2 \geq 0\) luôn đúng.

Mẫu số \(\sqrt{x}+3 > 0\) luôn đúng.

Do đó, bất phương trình \(\dfrac{(\sqrt{x}-1)^2}{\sqrt{x}+3} \geq 0\) luôn đúng với mọi \(x > 0\) và \(x \ne 9\).

Kết luận:

Để \(A.B \geq 2\), giá trị của \(x\) phải thỏa mãn các điều kiện ban đầu của bài toán, tức là \(x > 0\) và \(x \ne 9\).

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là \(x \in (0; 9) \cup (9; +\infty)\).

Các em có câu hỏi nào không?