Chúng ta có đề bài như sau: Cho \(a\) và \(b\) là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh:
a) Trong hai biểu thức \(11a + 2b\) và \(18a + 5b\), nếu một biểu thức chia hết cho 19 thì biểu thức còn lại cũng chia hết cho 19.
b) Hai biểu thức này không có ước chung nào khác ngoài 19.

Các em hãy chú ý lắng nghe và ghi chép lại các bước giải chi tiết nhé.

Phần a) Chứng minh tính chia hết

Chúng ta cần chứng minh rằng nếu một trong hai biểu thức \(11a + 2b\) hoặc \(18a + 5b\) chia hết cho 19, thì biểu thức còn lại cũng chia hết cho 19.

Để làm được điều này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi đại số. Mục tiêu của chúng ta là biểu diễn một trong hai biểu thức thông qua biểu thức còn lại cộng với một bội số của 19, hoặc ngược lại.

Giả sử biểu thức \(11a + 2b\) chia hết cho 19.
Điều này có nghĩa là \(11a + 2b = 19k\) với \(k\) là một số nguyên nào đó.

Bây giờ, chúng ta hãy thử biến đổi biểu thức thứ hai, \(18a + 5b\), để xem có mối liên hệ gì với \(11a + 2b\) hay không.

Chúng ta có thể nhân biểu thức \(11a + 2b\) với một số thích hợp để cố gắng làm xuất hiện các hệ số gần với \(18a + 5b\).
Ví dụ, nhân \(11a + 2b\) với 5:
\(5(11a + 2b) = 55a + 10b\)

Bây giờ, chúng ta xét biểu thức \(18a + 5b\).
Chúng ta có thể viết lại \(18a + 5b\) như sau:
\(18a + 5b = (55a + 10b) – 37a – 5b\)

Tuy nhiên, cách này không trực tiếp đưa ra mối liên hệ với 19.

Chúng ta hãy thử một cách tiếp cận khác. Chúng ta sẽ cố gắng tạo ra biểu thức \(18a + 5b\) từ \(11a + 2b\) bằng cách cộng hoặc trừ các bội số của \(19a\) hoặc \(19b\).

Xét biểu thức \(18a + 5b\). Chúng ta muốn xem nó có chia hết cho 19 hay không.
Chúng ta có thể nhân \(11a + 2b\) với một số \(m\) và \(18a + 5b\) với một số \(n\) sao cho khi kết hợp chúng lại, các hệ số của \(a\) và \(b\) trở thành bội số của 19.

Hãy thử nhân biểu thức \(11a + 2b\) với một số \(x\) và biểu thức \(18a + 5b\) với một số \(y\) và xem xét hiệu của chúng:
\(x(11a + 2b) – y(18a + 5b) = (11x – 18y)a + (2x – 5y)b\)

Chúng ta muốn tìm \(x\) và \(y\) sao cho \(11x – 18y\) và \(2x – 5y\) đều là bội số của 19.

Một cách làm hiệu quả hơn là sử dụng tính chất của phép chia có dư.
Nếu \(11a + 2b\) chia hết cho 19, thì \(11a + 2b \equiv 0 \pmod{19}\).

Bây giờ, chúng ta hãy xét biểu thức \(18a + 5b\) modulo 19.
Chúng ta có thể biến đổi \(18a + 5b\) như sau:
\(18a + 5b = (19a – a) + 5b = 19a – a + 5b\)
Vì \(19a\) chia hết cho 19, nên:
\(18a + 5b \equiv -a + 5b \pmod{19}\)

Bây giờ, chúng ta cần liên hệ \(-a + 5b\) với \(11a + 2b\).
Hãy xem xét biểu thức \(11a + 2b\) modulo 19:
\(11a + 2b \equiv 0 \pmod{19}\)

Chúng ta có thể nhân \(11a + 2b\) với một số nào đó để làm xuất hiện \(-a + 5b\).
Thử nhân \(11a + 2b\) với 5:
\(5(11a + 2b) = 55a + 10b\)
\(55a + 10b \equiv (3 \times 19 – 2)a + 10b \equiv -2a + 10b \pmod{19}\)

Vẫn chưa ra \(-a + 5b\).

Chúng ta hãy thử nhân \(11a + 2b\) với một số khác, ví dụ nhân với \(x\).
\(x(11a + 2b) = 11xa + 2xb\)
Chúng ta muốn \(11xa + 2xb\) có liên quan đến \(-a + 5b\).

Hãy xem xét mối quan hệ \(-a + 5b\) và \(11a + 2b\).
Chúng ta có thể thử nhân \(-a + 5b\) với một số và cộng hoặc trừ đi \(11a + 2b\).

Xét biểu thức \(18a + 5b\).
Ta có thể viết lại \(18a + 5b = 19a – a + 5b\).
Do \(19a\) chia hết cho 19, nên \(18a + 5b \equiv -a + 5b \pmod{19}\).

Bây giờ, giả sử \(11a + 2b\) chia hết cho 19, tức là \(11a + 2b \equiv 0 \pmod{19}\).
Chúng ta cần chứng minh \(-a + 5b \equiv 0 \pmod{19}\).

Hãy thử nhân \(11a + 2b\) với một số \(x\) để có hệ số của \(a\) là -1 hoặc hệ số của \(b\) là 5.
Nhân \(11a + 2b\) với 5:
\(5(11a + 2b) = 55a + 10b\)
\(55a + 10b \equiv (3 \times 19 – 2)a + 10b \equiv -2a + 10b \pmod{19}\).

Nhân \(11a + 2b\) với \(x\). Ta muốn tìm \(x\) sao cho \(11x \equiv -1 \pmod{19}\) hoặc \(2x \equiv 5 \pmod{19}\).

Để tìm \(x\) sao cho \(11x \equiv -1 \pmod{19}\):
Ta có \(11x \equiv 18 \pmod{19}\).
Thử các giá trị \(x = 1, 2, …\)
\(11 \times 1 = 11 \not\equiv 18 \pmod{19}\)
\(11 \times 2 = 22 \equiv 3 \pmod{19}\)
\(11 \times 3 = 33 \equiv 14 \pmod{19}\)
\(11 \times 4 = 44 \equiv 6 \pmod{19}\)
\(11 \times 5 = 55 \equiv 17 \pmod{19}\)
\(11 \times 6 = 66 \equiv 9 \pmod{19}\)
\(11 \times 7 = 77 \equiv 1 \pmod{19}\). Vậy 11 nghịch đảo của 7 modulo 19.
Để \(11x \equiv 18 \pmod{19}\), ta nhân cả hai vế với 7:
\(7 \times 11x \equiv 7 \times 18 \pmod{19}\)
\(x \equiv 126 \pmod{19}\)
\(126 = 6 \times 19 + 12\). Vậy \(x \equiv 12 \pmod{19}\).
Nếu \(x = 12\), thì \(11 \times 12 = 132\).
\(132 = 6 \times 19 + 18\). Vậy \(11 \times 12 \equiv 18 \equiv -1 \pmod{19}\).
Vậy ta có thể nhân \(11a + 2b\) với 12.

Nếu \(11a + 2b \equiv 0 \pmod{19}\), thì:
\(12(11a + 2b) \equiv 12 \times 0 \pmod{19}\)
\(132a + 24b \equiv 0 \pmod{19}\)
Vì \(132 \equiv 18 \equiv -1 \pmod{19}\) và \(24 \equiv 5 \pmod{19}\), ta có:
\(-a + 5b \equiv 0 \pmod{19}\)

Chúng ta đã thấy rằng \(18a + 5b \equiv -a + 5b \pmod{19}\).
Do đó, nếu \(11a + 2b\) chia hết cho 19, thì \(-a + 5b\) chia hết cho 19, suy ra \(18a + 5b\) chia hết cho 19.

Ngược lại, giả sử \(18a + 5b\) chia hết cho 19.
Điều này có nghĩa là \(18a + 5b \equiv 0 \pmod{19}\).
Từ \(18a + 5b \equiv -a + 5b \pmod{19}\), ta có \(-a + 5b \equiv 0 \pmod{19}\).

Bây giờ, chúng ta cần chứng minh \(11a + 2b \equiv 0 \pmod{19}\).
Chúng ta có \(-a + 5b \equiv 0 \pmod{19}\), suy ra \(a \equiv 5b \pmod{19}\).

Thay \(a \equiv 5b \pmod{19}\) vào biểu thức \(11a + 2b\):
\(11a + 2b \equiv 11(5b) + 2b \pmod{19}\)
\(11a + 2b \equiv 55b + 2b \pmod{19}\)
\(11a + 2b \equiv 57b \pmod{19}\)

Ta có \(57 = 3 \times 19\), vậy \(57 \equiv 0 \pmod{19}\).
Do đó, \(11a + 2b \equiv 0 \times b \equiv 0 \pmod{19}\).

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng nếu một trong hai biểu thức chia hết cho 19 thì biểu thức còn lại cũng chia hết cho 19.

Phần b) Tìm ước chung lớn nhất

Chúng ta cần chứng minh rằng hai biểu thức \(11a + 2b\) và \(18a + 5b\) không có ước chung nào khác ngoài 19.

Để tìm ước chung của hai biểu thức, chúng ta sử dụng thuật toán Euclid hoặc biến đổi tương tự như phần a).
Gọi \(d = \text{ƯCLN}(11a + 2b, 18a + 5b)\).
Theo định nghĩa, \(d\) phải chia hết cho cả \(11a + 2b\) và \(18a + 5b\).

Do \(d\) chia hết cho \(11a + 2b\) và \(18a + 5b\), nên \(d\) cũng chia hết cho bất kỳ tổ hợp tuyến tính nào của chúng.
Cụ thể, \(d\) sẽ chia hết cho:
\(m(11a + 2b) + n(18a + 5b)\) với \(m, n\) là các số nguyên.

Chúng ta sẽ chọn \(m\) và \(n\) sao cho phần biến \(a\) hoặc \(b\) bị triệt tiêu.
Chúng ta đã thấy ở phần a) rằng:
\(12(11a + 2b) = 132a + 24b\)
Và \(18a + 5b\).

Xét \(12(11a + 2b) – (18a + 5b)\):
\(= (132a + 24b) – (18a + 5b)\)
\(= 132a + 24b – 18a – 5b\)
\(= (132 – 18)a + (24 – 5)b\)
\(= 114a + 19b\)

Vì \(d\) chia hết cho \(11a + 2b\) và \(18a + 5b\), nên \(d\) phải chia hết cho \(114a + 19b\).
Ta có thể phân tích \(114a + 19b\) như sau:
\(114a + 19b = 19 \times 6a + 19b = 19(6a + b)\)

Vậy, \(d\) phải chia hết cho \(19(6a + b)\).
Điều này có nghĩa là \(19\) là một ước của \(d\).

Bây giờ, chúng ta hãy thử một tổ hợp khác để loại bỏ phần \(b\).
Chúng ta cần tìm \(m\) và \(n\) sao cho \(2m + 5n = 0\). Ta có thể chọn \(m = 5\) và \(n = -2\).
Xét \(5(11a + 2b) – 2(18a + 5b)\):
\(= (55a + 10b) – (36a + 10b)\)
\(= 55a + 10b – 36a – 10b\)
\(= (55 – 36)a + (10 – 10)b\)
\(= 19a\)

Vì \(d\) chia hết cho \(11a + 2b\) và \(18a + 5b\), nên \(d\) phải chia hết cho \(19a\).

Chúng ta có hai điều quan trọng:
1. \(d\) chia hết cho \(19(6a + b)\)
2. \(d\) chia hết cho \(19a\)

Từ điều kiện \(d\) chia hết cho \(19a\), suy ra \(d\) có thể có ước là 19 và \(a\).

Tuy nhiên, \(a\) và \(b\) là hai số nguyên tố cùng nhau, tức là \(\text{ƯCLN}(a, b) = 1\).

Chúng ta có \(d\) chia hết cho \(11a + 2b\).
Và \(d\) chia hết cho \(19a\).
Vì \(d\) chia hết cho \(19a\), nên \(d\) có thể là \(19\), \(a\), \(19a\), hoặc các ước khác.

Hãy xem xét trường hợp \(d\) chia hết cho \(19(6a + b)\).
Và \(d\) chia hết cho \(19a\).

Nếu \(d\) là ước chung của \(11a + 2b\) và \(18a + 5b\), thì \(d\) cũng là ước chung của \(19a\) và \(19(6a + b)\).
Do đó, \(d\) phải chia hết cho \(\text{ƯCLN}(19a, 19(6a + b))\).

\(\text{ƯCLN}(19a, 19(6a + b)) = 19 \times \text{ƯCLN}(a, 6a + b)\)

Bây giờ, chúng ta cần tìm \(\text{ƯCLN}(a, 6a + b)\).
Sử dụng tính chất \(\text{ƯCLN}(x, y) = \text{ƯCLN}(x, y – kx)\).
\(\text{ƯCLN}(a, 6a + b) = \text{ƯCLN}(a, (6a + b) – 6a)\)
\(= \text{ƯCLN}(a, b)\)

Vì \(a\) và \(b\) là hai số nguyên tố cùng nhau, nên \(\text{ƯCLN}(a, b) = 1\).
Do đó, \(\text{ƯCLN}(a, 6a + b) = 1\).

Vậy, \(\text{ƯCLN}(19a, 19(6a + b)) = 19 \times 1 = 19\).

Điều này có nghĩa là \(d\) phải chia hết cho 19.
Vậy, bất kỳ ước chung nào của \(11a + 2b\) và \(18a + 5b\) cũng phải là bội số của 19.

Bây giờ, chúng ta cần chứng minh rằng không có ước chung nào khác ngoài 19.
Chúng ta đã chứng minh được rằng 19 là một ước chung.

Chúng ta đã tìm ra:
\(5(11a + 2b) – 2(18a + 5b) = 19a\)
\(12(11a + 2b) – (18a + 5b) = 19(6a + b)\)

Nếu \(d\) là ước chung của \(11a + 2b\) và \(18a + 5b\), thì:
\(d\) chia hết \(11a + 2b\)
\(d\) chia hết \(18a + 5b\)

Suy ra:
\(d\) chia hết \(19a\)
\(d\) chia hết \(19(6a + b)\)

Do đó, \(d\) chia hết cho \(\text{ƯCLN}(19a, 19(6a + b))\).
Và chúng ta đã tính \(\text{ƯCLN}(19a, 19(6a + b)) = 19\).

Điều này có nghĩa là \(d\) phải là một bội số của 19.
Do đó, bất kỳ ước chung nào của \(11a + 2b\) và \(18a + 5b\) đều phải là bội số của 19.

Tuy nhiên, chúng ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất chỉ là 19.
Ta đã chứng minh \(d\) là ước của \(19a\) và \(d\) là ước của \(19(6a + b)\).

Điều này có nghĩa là \(d\) là ước của 19.
Và \(d\) cũng có thể có ước là \(a\) hoặc \(6a+b\).

Ta có \(d\) là ước chung của \(11a+2b\) và \(18a+5b\).
Suy ra \(d\) là ước của \(19a\).
Và \(d\) là ước của \(19(6a+b)\).

Nếu \(d\) là ước chung của \(11a+2b\) và \(18a+5b\), thì \(d\) cũng là ước của \(19a\).
Vậy \(d\) có thể là \(1, 19, a, 19a\) (nếu \(a\) là ước của 19).

Nhưng chúng ta đã chứng minh \(d\) chia hết cho 19.
Vậy \(d\) phải là bội của 19.

Bây giờ ta cần xem xét nếu \(d\) có thể lớn hơn 19.
Giả sử \(d = 19k\), với \(k > 1\).

Ta có \(d\) chia hết cho \(19a\).
Nên \(19k\) chia hết cho \(19a\), suy ra \(k\) chia hết cho \(a\).
Vậy \(a\) là ước của \(k\).

Ta cũng có \(d\) chia hết cho \(19(6a+b)\).
Nên \(19k\) chia hết cho \(19(6a+b)\), suy ra \(k\) chia hết cho \(6a+b\).
Vậy \(6a+b\) là ước của \(k\).

Nếu \(k\) chia hết cho \(a\) và \(k\) chia hết cho \(6a+b\), thì \(k\) phải chia hết cho \(\text{ƯCLN}(a, 6a+b)\).
Chúng ta đã tính \(\text{ƯCLN}(a, 6a+b) = \text{ƯCLN}(a, b) = 1\).

Vì \(k\) chia hết cho 1, điều này không cung cấp thông tin mới.

Chúng ta có \(d = \text{ƯCLN}(11a + 2b, 18a + 5b)\).
Ta đã chứng minh \(d\) chia hết cho 19.
Và \(d\) chia hết cho \(19a\).
Và \(d\) chia hết cho \(19(6a+b)\).

Do đó, \(d\) phải là ước của \(\text{ƯCLN}(19a, 19(6a+b)) = 19\).
Nếu \(d\) là ước của 19, và \(d\) là bội của 19, thì \(d\) chỉ có thể bằng 19 hoặc -19.
Vì ước chung lớn nhất là số dương, nên \(d = 19\).

Vậy, ước chung lớn nhất của hai biểu thức \(11a + 2b\) và \(18a + 5b\) là 19.
Điều này có nghĩa là hai biểu thức này không có ước chung nào khác ngoài 19 (và -19, nhưng chúng ta thường xét ước chung là số dương).

Các em có thể thấy rằng bài toán này đòi hỏi sự linh hoạt trong việc biến đổi đại số và áp dụng tính chất của ước chung lớn nhất.

Tóm tắt lại

Để chứng minh phần a), chúng ta đã sử dụng đồng dư thức modulo 19. Bằng cách biến đổi biểu thức thứ hai \(18a + 5b\) thành \(-a + 5b \pmod{19}\), và sau đó sử dụng giả thiết \(11a + 2b \equiv 0 \pmod{19}\) để suy ra \(-a + 5b \equiv 0 \pmod{19}\). Ngược lại, chúng ta dùng \(a \equiv 5b \pmod{19}\) để chứng minh \(11a + 2b\) chia hết cho 19.

Đối với phần b), chúng ta gọi \(d\) là ước chung của hai biểu thức. Thông qua việc tìm các tổ hợp tuyến tính của hai biểu thức, chúng ta đã chứng minh được \(d\) chia hết cho \(19a\) và \(d\) chia hết cho \(19(6a+b)\). Từ đó, suy ra \(d\) phải chia hết cho \(\text{ƯCLN}(19a, 19(6a+b))\). Bằng cách sử dụng tính chất \(\text{ƯCLN}(a, b) = 1\), chúng ta tính được \(\text{ƯCLN}(19a, 19(6a+b)) = 19\). Do \(d\) là ước chung nên \(d\) phải là ước của 19. Kết hợp với việc 19 là một ước chung, ta kết luận ước chung lớn nhất là 19.

Hy vọng các em đã hiểu rõ bài giảng hôm nay. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!