cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. hãy chứng minh: a) trong…

Chào em, một câu hỏi rất hay và thú vị trong chương trình Số học lớp 9! Để giải quyết bài toán này, thầy trò mình sẽ dùng phương pháp chứng minh tính chia hết và tính chất của ước chung lớn nhất. Thầy sẽ giải thích từng bước thật chi tiết và dễ hiểu cho em nhé.

Phần a: Chứng minh nếu một biểu thức chia hết cho 19 thì biểu thức còn lại cũng chia hết cho 19

Trước tiên, để làm gọn việc trình bày, thầy đặt biểu thức thứ nhất là X = 11a + 2b và biểu thức thứ hai là Y = 18a + 5b. Nhiệm vụ của chúng ta là chứng minh mối liên hệ chia hết cho 19 giữa X và Y.

Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện một kỹ thuật rất quen thuộc trong số học là nhân các biểu thức với một số thích hợp để tạo ra sự triệt tiêu ẩn. Cụ thể, thầy sẽ xét biểu thức tổng hợp từ X và Y:

Ta nhân biểu thức X với 5 và biểu thức Y với 2, sau đó lấy hiệu của chúng:

5 nhân X trừ đi 2 nhân Y bằng:

5 nhân (11a + 2b) trừ đi 2 nhân (18a + 5b)

= (55a + 10b) trừ đi (36a + 10b)

= 55a + 10b trừ 36a trừ 10b

= (55a trừ 36a) cộng (10b trừ 10b)

= 19a

Như vậy, ta có đẳng thức quan trọng sau: 5X – 2Y = 19a.

Từ đẳng thức này, chúng ta suy ra hai trường hợp cần chứng minh như sau:

• Trường hợp 1: Giả sử biểu thức X chia hết cho 19. Khi đó 5X chắc chắn chia hết cho 19. Nhìn vào vế phải, ta thấy 19a luôn chia hết cho 19 (vì có thừa số 19). Do đó, để đẳng thức được thỏa mãn thì biểu thức 2Y cũng phải chia hết cho 19. Mà số 2 không chia hết cho 19, nên buộc biểu thức Y phải chia hết cho 19. Vậy nếu X chia hết cho 19 thì Y cũng chia hết cho 19.
• Trường hợp 2: Ngược lại, giả sử biểu thức Y chia hết cho 19. Khi đó 2Y chia hết cho 19. Vì vế phải 19a đã chia hết cho 19, nên biểu thức 5X cũng phải chia hết cho 19 theo tính chất của phép trừ. Vì 5 không chia hết cho 19, nên bắt buộc X phải chia hết cho 19. Vậy nếu Y chia hết cho 19 thì X cũng chia hết cho 19.

Như vậy, ta đã chứng minh xong phần a: nếu một biểu thức chia hết cho 19 thì biểu thức còn lại cũng chia hết cho 19.

Phần b: Chứng minh hai biểu thức không có ước chung nào khác ngoài 19

Để giải quyết phần này, trước hết em cần hiểu ý nghĩa từ giả thiết đề bài cho ban đầu: a và b là hai số nguyên tố cùng nhau (nghĩa là ước chung lớn nhất của a và b bằng 1).

Bây giờ, chúng ta giả sử d là ước chung bất kỳ của hai biểu thức X và Y. Điều này có nghĩa là:

• X chia hết cho d
• Y chia hết cho d

Vì d là ước của cả X và Y, nên d cũng phải là ước của mọi kết quả tạo ra từ phép cộng trừ nhân chia các bội của X và Y. Ở phần a, ta đã có đẳng thức 5X – 2Y = 19a. Do đó:

• Biểu thức 5X chia hết cho d (vì X chia hết cho d)
• Biểu thức 2Y chia hết cho d (vì Y chia hết cho d)
• Nên hiệu của chúng là 5X – 2Y cũng phải chia hết cho d.
• Điều này có nghĩa là 19a chia hết cho d.

Tương tự như vậy, nếu ta làm phép biến đổi khác, chẳng hạn nhân X với 18 và Y với 11 rồi trừ cho nhau:

18X – 11Y = 18(11a + 2b) – 11(18a + 5b) = (198a + 36b) – (198a + 55b) = -19b.

Vì X và Y đều chia hết cho d, nên 19b chia hết cho d.

Từ việc 19a chia hết cho d và 19b chia hết cho d, ta suy ra d phải là ước chung của 19a và 19b. Hay nói cách khác, d chính là ước của tích 19 nhân với ước chung lớn nhất của a và b.

Mà theo giả thiết đề bài, a và b là hai số nguyên tố cùng nhau, nên ước chung lớn nhất của a và b bằng 1. Do đó:

d là ước của số 19 nhân 1, tức là d là ước của 19.

Vì 19 là một số nguyên tố, nên các ước nguyên dương của 19 chỉ có thể là 1 hoặc chính số 19.

Như vậy, ước chung d của hai biểu thức chỉ có thể nhận giá trị là 1 hoặc 19. Điều này chứng tỏ rằng hai biểu thức X và Y không có bất kỳ ước chung nào khác ngoài 19 và 1 (tức là ước chung lớn nhất của chúng chính là 19 nếu chúng cùng chia hết cho 19, hoặc bằng 1 nếu chúng không chia hết cho 19).

Thế là chúng ta đã hoàn thành trọn vẹn cả hai câu a và b một cách chặt chẽ. Chúc em học tập thật tốt và luôn giữ vững niềm đam mê với môn Toán nhé! Nếu còn chỗ nào chưa rõ, em cứ hỏi lại thầy nha.