Chào các em học sinh!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng giải quyết một bài toán xác suất thú vị. Đây là một dạng bài điển hình kết hợp giữa kiến thức về tổ hợp, chỉnh hợp và tính chất chia hết của số tự nhiên.

Đề bài: Cho \(A={0; 1; 2; 3; 4; 5}\) gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có \(4\) chữ số được lập từ \(A\). Chọn \(2\) số khác nhau thuộc \(S\). Tính xác suất để trong \(2\) số được chọn có \(1\) số chia hết cho \(3\).

Chúng ta sẽ giải bài toán này theo các bước sau đây:

Bước 1: Xác định số phần tử của tập hợp \(S\).

Các số tự nhiên có \(4\) chữ số có dạng \(\overline{abcd}\), với \(a, b, c, d \in A\).

• Chữ số \(a\) (hàng nghìn) phải khác \(0\). Do đó, \(a\) có \(5\) cách chọn (\(1, 2, 3, 4, 5\)).
• Chữ số \(b\) (hàng trăm) có \(6\) cách chọn (\(0, 1, 2, 3, 4, 5\)).
• Chữ số \(c\) (hàng chục) có \(6\) cách chọn (\(0, 1, 2, 3, 4, 5\)).
• Chữ số \(d\) (hàng đơn vị) có \(6\) cách chọn (\(0, 1, 2, 3, 4, 5\)).

Vậy số phần tử của tập hợp \(S\) là:
\(|S| = 5 \times 6 \times 6 \times 6 = 5 \times 216 = 1080\).

Bước 2: Xác định số phần tử của \(S\) chia hết cho \(3\).

Một số tự nhiên chia hết cho \(3\) khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho \(3\).
Ta có các chữ số trong \(A\) và số dư của chúng khi chia cho \(3\):

• Tập các số có số dư \(0\) khi chia cho \(3\): \(A_0 = \{0, 3\}\) (có \(2\) số).
• Tập các số có số dư \(1\) khi chia cho \(3\): \(A_1 = \{1, 4\}\) (có \(2\) số).
• Tập các số có số dư \(2\) khi chia cho \(3\): \(A_2 = \{2, 5\}\) (có \(2\) số).

Gọi số là \(\overline{abcd}\). Tổng các chữ số là \(a+b+c+d\). Ta cần \(a+b+c+d\) chia hết cho \(3\).

Chúng ta sẽ chọn lần lượt các chữ số:

• Chữ số \(a\) có \(5\) cách chọn (từ \(1, 2, 3, 4, 5\)).
• Chữ số \(b\) có \(6\) cách chọn (từ \(0, 1, 2, 3, 4, 5\)).
• Chữ số \(c\) có \(6\) cách chọn (từ \(0, 1, 2, 3, 4, 5\)).

Sau khi chọn \(a, b, c\), tổng \(a+b+c\) sẽ có một số dư nào đó khi chia cho \(3\) (là \(0\), \(1\) hoặc \(2\)).

• Nếu \((a+b+c) \pmod 3 = 0\), ta cần \(d \pmod 3 = 0\). Có \(2\) cách chọn \(d \in \{0, 3\}\).
• Nếu \((a+b+c) \pmod 3 = 1\), ta cần \(d \pmod 3 = 2\). Có \(2\) cách chọn \(d \in \{2, 5\}\).
• Nếu \((a+b+c) \pmod 3 = 2\), ta cần \(d \pmod 3 = 1\). Có \(2\) cách chọn \(d \in \{1, 4\}\).

Như vậy, với mọi cách chọn \(a, b, c\), luôn có đúng \(2\) cách chọn \(d\) để tổng \(a+b+c+d\) chia hết cho \(3\).

Số các số trong \(S\) chia hết cho \(3\), ký hiệu là \(N_3\):
\(N_3 = 5 \times 6 \times 6 \times 2 = 360\).

Bước 3: Xác định số phần tử của \(S\) không chia hết cho \(3\).

Số các số trong \(S\) không chia hết cho \(3\), ký hiệu là \(N_{\neg 3}\):
\(N_{\neg 3} = |S| – N_3 = 1080 – 360 = 720\).

Bước 4: Tính số cách chọn \(2\) số khác nhau từ \(S\).

Đây là số tổ hợp chập \(2\) của \(1080\) phần tử:
\(\Omega = C_{1080}^2 = \frac{1080 \times (1080 – 1)}{2} = \frac{1080 \times 1079}{2} = 540 \times 1079 = 582660\).

Bước 5: Tính số cách chọn \(2\) số sao cho có đúng \(1\) số chia hết cho \(3\).

Để có đúng \(1\) số chia hết cho \(3\), ta cần chọn \(1\) số từ \(N_3\) số chia hết cho \(3\) và \(1\) số từ \(N_{\neg 3}\) số không chia hết cho \(3\).

Số cách chọn thỏa mãn yêu cầu là:
\(N_{thuanloi} = C_{360}^1 \times C_{720}^1 = 360 \times 720 = 259200\).

Bước 6: Tính xác suất.

Xác suất \(P\) để trong \(2\) số được chọn có \(1\) số chia hết cho \(3\) là:
\(P = \frac{N_{thuanloi}}{\Omega} = \frac{259200}{582660}\)

Giờ chúng ta sẽ rút gọn phân số này:

\(P = \frac{259200}{582660} = \frac{25920}{58266}\) (chia cả tử và mẫu cho \(10\))

\(P = \frac{12960}{29133}\) (chia cả tử và mẫu cho \(2\))

Tổng các chữ số của \(12960\) là \(1+2+9+6+0 = 18\), chia hết cho \(9\).
Tổng các chữ số của \(29133\) là \(2+9+1+3+3 = 18\), chia hết cho \(9\).
\(\frac{12960}{9} = 1440\)
\(\frac{29133}{9} = 3237\)
Vậy \(P = \frac{1440}{3237}\)

Tổng các chữ số của \(1440\) là \(1+4+4+0 = 9\), chia hết cho \(3\).
Tổng các chữ số của \(3237\) là \(3+2+3+7 = 15\), chia hết cho \(3\).
\(\frac{1440}{3} = 480\)
\(\frac{3237}{3} = 1079\)
Vậy \(P = \frac{480}{1079}\)

Kiểm tra số \(1079\). Ta thấy \(1079 = 13 \times 83\). Số \(480\) không chia hết cho \(13\) và không chia hết cho \(83\).
Do đó, phân số đã được tối giản.

Kết luận:

Xác suất để trong \(2\) số được chọn có \(1\) số chia hết cho \(3\) là \(\frac{480}{1079}\).

Các em có thắc mắc gì không? Nếu có, hãy hỏi nhé!