Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về hình học giải tích trong không gian liên quan đến tam giác và tâm đường tròn nội tiếp. Đây là một dạng bài quan trọng, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững công thức và kỹ năng tính toán vector, độ dài đoạn thẳng.

Đề bài: Cho ba điểm \(A(2;-1;3)\), \(B(0;1;1)\), \(C(-1;2;2)\). Tìm tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Để tìm tâm đường tròn nội tiếp (ký hiệu là \(I\)) của tam giác ABC, chúng ta sử dụng công thức sau:

Nếu tam giác ABC có các đỉnh \(A(x_A, y_A, z_A)\), \(B(x_B, y_B, z_B)\), \(C(x_C, y_C, z_C)\) và độ dài các cạnh tương ứng là \(a = BC\), \(b = AC\), \(c = AB\), thì tọa độ tâm đường tròn nội tiếp \(I(x_I, y_I, z_I)\) được tính bằng công thức:

\(I = \left( \frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}, \frac{ay_A + by_B + cy_C}{a+b+c}, \frac{az_A + bz_B + cz_C}{a+b+c} \right)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ tiến hành các bước giải bài toán này.

Bước 1: Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\).

1. Tính độ dài cạnh AB (ký hiệu là c):

\(\vec{AB} = (0-2, 1-(-1), 1-3) = (-2, 2, -2)\)
\(c = AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-2)^2}\)
\(c = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)

2. Tính độ dài cạnh AC (ký hiệu là b):

\(\vec{AC} = (-1-2, 2-(-1), 2-3) = (-3, 3, -1)\)
\(b = AC = |\vec{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + (-1)^2}\)
\(b = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19}\)

3. Tính độ dài cạnh BC (ký hiệu là a):

\(\vec{BC} = (-1-0, 2-1, 2-1) = (-1, 1, 1)\)
\(a = BC = |\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2}\)
\(a = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}\)

Bước 2: Tính tổng độ dài các cạnh.

\(a+b+c = \sqrt{3} + \sqrt{19} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3} + \sqrt{19}\)

Bước 3: Áp dụng công thức tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp I.

Với \(A(2;-1;3)\), \(B(0;1;1)\), \(C(-1;2;2)\), \(a = \sqrt{3}\), \(b = \sqrt{19}\), \(c = 2\sqrt{3}\).

1. Tính hoành độ \(x_I\):

\(x_I = \frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}\)
\(x_I = \frac{\sqrt{3}(2) + \sqrt{19}(0) + 2\sqrt{3}(-1)}{3\sqrt{3} + \sqrt{19}}\)
\(x_I = \frac{2\sqrt{3} + 0 – 2\sqrt{3}}{3\sqrt{3} + \sqrt{19}}\)
\(x_I = \frac{0}{3\sqrt{3} + \sqrt{19}} = 0\)

2. Tính tung độ \(y_I\):

\(y_I = \frac{ay_A + by_B + cy_C}{a+b+c}\)
\(y_I = \frac{\sqrt{3}(-1) + \sqrt{19}(1) + 2\sqrt{3}(2)}{3\sqrt{3} + \sqrt{19}}\)
\(y_I = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{19} + 4\sqrt{3}}{3\sqrt{3} + \sqrt{19}}\)
\(y_I = \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{19}}{3\sqrt{3} + \sqrt{19}} = 1\)

3. Tính cao độ \(z_I\):

\(z_I = \frac{az_A + bz_B + cz_C}{a+b+c}\)
\(z_I = \frac{\sqrt{3}(3) + \sqrt{19}(1) + 2\sqrt{3}(2)}{3\sqrt{3} + \sqrt{19}}\)
\(z_I = \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{19} + 4\sqrt{3}}{3\sqrt{3} + \sqrt{19}}\)
\(z_I = \frac{7\sqrt{3} + \sqrt{19}}{3\sqrt{3} + \sqrt{19}}\)

Để biểu thức \(z_I\) được gọn gàng hơn, ta có thể trục căn thức ở mẫu:

\(z_I = \frac{(7\sqrt{3} + \sqrt{19})(3\sqrt{3} – \sqrt{19})}{(3\sqrt{3} + \sqrt{19})(3\sqrt{3} – \sqrt{19})}\)
Tử số: \((7\sqrt{3} + \sqrt{19})(3\sqrt{3} – \sqrt{19}) = 7\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} – 7\sqrt{3}\sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 3\sqrt{3} – \sqrt{19}\sqrt{19}\)
\(= 63 – 7\sqrt{57} + 3\sqrt{57} – 19\)
\(= 44 – 4\sqrt{57}\)

Mẫu số: \((3\sqrt{3} + \sqrt{19})(3\sqrt{3} – \sqrt{19}) = (3\sqrt{3})^2 – (\sqrt{19})^2 = 27 – 19 = 8\)

Vậy: \(z_I = \frac{44 – 4\sqrt{57}}{8} = \frac{4(11 – \sqrt{57})}{8} = \frac{11 – \sqrt{57}}{2}\)

Bước 4: Kết luận.

Vậy, tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là \(I\left( 0; 1; \frac{11 – \sqrt{57}}{2} \right)\).

Các em lưu ý kiểm tra lại các bước tính toán cẩn thận để tránh sai sót nhé. Đây là một bài toán cơ bản nhưng đòi hỏi sự chính xác cao. Chúc các em học tốt!