Bài toán: Cho \(ab = 1\). Chứng minh rằng \(a(b+1)+b(a+1)=(a+1)(b+1)\).

Lời giải chi tiết:

Để chứng minh đẳng thức này, chúng ta sẽ đi từ một vế và biến đổi nó để trở thành vế còn lại, hoặc chúng ta có thể biến đổi cả hai vế về cùng một biểu thức chung. Trong trường hợp này, cách tiếp cận đơn giản nhất là biến đổi vế trái để xem nó có bằng vế phải hay không.

Bước 1: Xét vế trái của đẳng thức.
Vế trái của chúng ta là: \(a(b+1)+b(a+1)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ tiến hành nhân phân phối các hạng tử ra:
Nhân \(a\) với \(b+1\): \(a \times b + a \times 1 = ab + a\)
Nhân \(b\) với \(a+1\): \(b \times a + b \times 1 = ba + b\)

Vậy, vế trái trở thành: \( (ab + a) + (ba + b) \)

Bước 2: Rút gọn biểu thức ở vế trái.
Ta có thể nhóm các hạng tử lại: \(ab + a + ba + b\)
Vì phép nhân có tính giao hoán, nên \(ab = ba\). Ta có thể viết lại là: \(ab + a + ab + b\)

Gom các hạng tử giống nhau lại: \( (ab + ab) + a + b \)
\( 2ab + a + b \)

Bước 3: Sử dụng giả thiết của bài toán.
Đề bài cho chúng ta biết rằng \(ab = 1\).
Bây giờ, chúng ta sẽ thay \(ab = 1\) vào biểu thức vừa rút gọn ở bước 2:
\( 2(1) + a + b \)
\( 2 + a + b \)

Bước 4: Xét vế phải của đẳng thức.
Vế phải của chúng ta là: \((a+1)(b+1)\)

Chúng ta cũng sẽ tiến hành nhân phân phối các hạng tử ra:
Nhân \(a\) với \(b+1\): \(a \times b + a \times 1 = ab + a\)
Nhân \(1\) với \(b+1\): \(1 \times b + 1 \times 1 = b + 1\)

Vậy, vế phải trở thành: \( (ab + a) + (b + 1) \)

Bước 5: Rút gọn biểu thức ở vế phải.
Ta có thể nhóm các hạng tử lại: \(ab + a + b + 1\)

Bước 6: So sánh kết quả của hai vế.
Ở Bước 3, chúng ta đã biến đổi vế trái thành \(2 + a + b\).
Ở Bước 5, chúng ta đã biến đổi vế phải thành \(ab + a + b + 1\).

Có vẻ như chúng ta cần xem xét lại cách biến đổi hoặc cách sử dụng giả thiết. Chúng ta hãy quay lại Bước 3 và cẩn thận hơn.

Chúng ta có vế trái là: \(ab + a + ba + b\).
Vì \(ab = ba\), nên ta có: \(ab + a + ab + b\).
Và \(ab = 1\), vậy biểu thức này bằng \(1 + a + 1 + b = 2 + a + b\).

Bây giờ, chúng ta hãy xem vế phải: \((a+1)(b+1)\).
Khi nhân ra ta được: \(ab + a + b + 1\).
Vì \(ab = 1\), ta thay vào vế phải: \(1 + a + b + 1\).
Rút gọn: \(a + b + 2\).

Bước 7: Kết luận.
Vế trái sau khi biến đổi là \(2 + a + b\).
Vế phải sau khi biến đổi là \(a + b + 2\).

Ta thấy rằng \(2 + a + b = a + b + 2\).
Do đó, vế trái bằng vế phải.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \(a(b+1)+b(a+1)=(a+1)(b+1)\) với giả thiết \(ab = 1\).

Một cách trình bày khác (nhanh hơn):

Chúng ta sẽ biến đổi vế trái:
\(a(b+1)+b(a+1)\)
\( = ab + a + ba + b \)
\( = ab + a + ab + b \) (vì \(ba = ab\))
\( = 2ab + a + b \)

Bây giờ, chúng ta sẽ biến đổi vế phải:
\((a+1)(b+1)\)
\( = ab + a + b + 1 \)

Để hai biểu thức này bằng nhau, chúng ta cần:
\(2ab + a + b = ab + a + b + 1\)

Trừ \(a + b\) ở cả hai vế:
\(2ab = ab + 1\)

Trừ \(ab\) ở cả hai vế:
\(ab = 1\)

Đây chính là giả thiết của bài toán. Vì giả thiết \(ab = 1\) là đúng, nên các bước biến đổi ngược lại cũng đúng. Do đó, đẳng thức ban đầu là đúng.

Vậy, ta đã chứng minh xong. Các em có câu hỏi nào không?

Tóm tắt cách chứng minh:

1. Biến đổi vế trái: \(a(b+1)+b(a+1) = ab + a + ba + b = 2ab + a + b\).
2. Biến đổi vế phải: \((a+1)(b+1) = ab + a + b + 1\).
3. Sử dụng giả thiết \(ab = 1\).
4. Thay \(ab=1\) vào vế trái: \(2(1) + a + b = 2 + a + b\).
5. Thay \(ab=1\) vào vế phải: \(1 + a + b + 1 = a + b + 2\).
6. So sánh hai kết quả: \(2 + a + b = a + b + 2\), đẳng thức được chứng minh.