Chào các em học sinh lớp 7 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Đây là một dạng bài thường gặp và rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 7 của chúng ta.

Đề bài:
Cho \(a/b\) \(=\) \(2/3\)
\(b/c\) \(=\) \(4/5\)
Biết \(a\) \(+\) \(b\) \(+\) \(c\) \(=\) \(70\)
Tìm \(a\)\(,\) \(b\)\(,\) \(c\).

Chúng ta hãy cùng phân tích và giải quyết bài toán này nhé!

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Đưa các tỉ số về dạng có cùng một “mẫu số chung” cho ẩn trung gian.

Từ giả thiết, chúng ta có hai tỉ số sau:
1. \(a/b = 2/3\)
2. \(b/c = 4/5\)

Để tiện cho việc sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, chúng ta cần biểu diễn \(a, b, c\) theo một dãy tỉ số chung. Chúng ta nhận thấy ẩn \(b\) là ẩn chung giữa hai tỉ số trên.

Từ tỉ số thứ nhất: \(a/b = 2/3\). Để đưa về dạng dãy tỉ số, chúng ta có thể viết là \(a/2 = b/3\).
Từ tỉ số thứ hai: \(b/c = 4/5\). Để đưa về dạng dãy tỉ số, chúng ta có thể viết là \(b/4 = c/5\).

Bây giờ, chúng ta có \(b/3\) và \(b/4\). Để chúng ta có thể nối lại thành một dãy tỉ số bằng nhau, giá trị của \(b\) trong cả hai biểu thức phải tương ứng với cùng một số. Chúng ta sẽ tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 3 và 4, đó là 12.

Chúng ta sẽ biến đổi các tỉ số để phần của \(b\) là 12:

Từ \(a/2 = b/3\):
Để \(b\) tương ứng với 12, chúng ta nhân cả tử và mẫu của tỉ số \(b/3\) với \(12/3 = 4\). Đồng thời, chúng ta cũng phải nhân phần của \(a\) với 4.
\(a/(2 \times 4) = b/(3 \times 4)\)
\(a/8 = b/12\) (Đây là tỉ số thứ nhất đã được biến đổi)

Từ \(b/4 = c/5\):
Để \(b\) tương ứng với 12, chúng ta nhân cả tử và mẫu của tỉ số \(b/4\) với \(12/4 = 3\). Đồng thời, chúng ta cũng phải nhân phần của \(c\) với 3.
\(b/(4 \times 3) = c/(5 \times 3)\)
\(b/12 = c/15\) (Đây là tỉ số thứ hai đã được biến đổi)

Như vậy, sau khi biến đổi, chúng ta đã có một dãy tỉ số bằng nhau như sau:
\(a/8 = b/12 = c/15\)

Bước 2: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Chúng ta biết rằng, nếu có dãy tỉ số \(x/m = y/n = z/p\), thì chúng ta có quyền suy ra \((x+y+z)/(m+n+p)\) cũng bằng giá trị của các tỉ số đó.

Áp dụng tính chất này cho dãy tỉ số \(a/8 = b/12 = c/15\), chúng ta có:
\(a/8 = b/12 = c/15 = (a+b+c)/(8+12+15)\)

Theo đề bài, chúng ta biết \(a + b + c = 70\).
Và tổng các mẫu số là \(8 + 12 + 15 = 35\).

Vậy, chúng ta thay các giá trị này vào:
\(a/8 = b/12 = c/15 = 70/35\)

Thực hiện phép chia: \(70/35 = 2\).

Do đó, chúng ta có:
\(a/8 = 2\)
\(b/12 = 2\)
\(c/15 = 2\)

Bước 3: Tìm giá trị của \(a, b, c\).

Từ các tỉ số vừa tìm được, chúng ta dễ dàng tính toán giá trị của từng biến:

Từ \(a/8 = 2 \implies a = 8 \times 2 \implies a = 16\).

Từ \(b/12 = 2 \implies b = 12 \times 2 \implies b = 24\).

Từ \(c/15 = 2 \implies c = 15 \times 2 \implies c = 30\).

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả.

Chúng ta cùng kiểm tra lại các điều kiện của đề bài với các giá trị vừa tìm được:

1. Tổng \(a+b+c = 16 + 24 + 30 = 70\). (Đúng với đề bài)

2. Tỉ số \(a/b = 16/24\). Rút gọn phân số này, chúng ta chia cả tử và mẫu cho 8: \(16 \div 8 = 2\), \(24 \div 8 = 3\). Vậy \(a/b = 2/3\). (Đúng với đề bài)

3. Tỉ số \(b/c = 24/30\). Rút gọn phân số này, chúng ta chia cả tử và mẫu cho 6: \(24 \div 6 = 4\), \(30 \div 6 = 5\). Vậy \(b/c = 4/5\). (Đúng với đề bài)

Tất cả các điều kiện đều thỏa mãn, vậy kết quả chúng ta tìm được là chính xác.

Kết luận:

Vậy, các giá trị cần tìm là:
\(a = 16\)
\(b = 24\)
\(c = 30\)

Các em nhớ ôn tập kỹ dạng bài này nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè!