Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán khá thú vị liên quan đến căn thức và biến đổi đại số. Đây là dạng bài chứng minh đẳng thức, yêu cầu chúng ta phải biến đổi hai vế của phương trình sao cho chúng bằng nhau.

Đề bài cho: “Cho \(a;b\) là 2 số dương.”

Chứng minh rằng: \(sqrt{(sqrt{a^2+b^2}-a)(sqrt{a^2+b^2}-b)}=(a+b-sqrt{a^2+b^2})/sqrt2 \)

Chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau đây nhé!

Bước 1: Phân tích và lựa chọn phương pháp

Nhìn vào đẳng thức cần chứng minh, chúng ta thấy cả hai vế đều có chứa căn bậc hai. Một cách rất hiệu quả để xử lý các biểu thức có căn bậc hai khi chứng minh đẳng thức là bình phương cả hai vế. Nếu bình phương hai vế mà ra kết quả bằng nhau, và chúng ta cũng kiểm tra được rằng hai vế ban đầu đều cùng dấu (ở đây là dấu dương), thì đẳng thức sẽ được chứng minh.

Bước 2: Bình phương vế trái (VT)

Gọi vế trái là VT:

\(VT = sqrt{(sqrt{a^2+b^2}-a)(sqrt{a^2+b^2}-b)} \)

Bình phương vế trái, ta được:

\(VT^2 = (sqrt{(sqrt{a^2+b^2}-a)(sqrt{a^2+b^2}-b)})^2 \)

\(VT^2 = (sqrt{a^2+b^2}-a)(sqrt{a^2+b^2}-b) \)

Bây giờ, chúng ta sẽ nhân phá ngoặc biểu thức này. Đặt \(X = sqrt{a^2+b^2}\) cho dễ nhìn:

\(VT^2 = (X-a)(X-b) \)

\(VT^2 = X^2 – Xb – Xa + ab \)

\(VT^2 = X^2 – (a+b)X + ab \)

Thay \(X = sqrt{a^2+b^2}\) trở lại:

\(VT^2 = (sqrt{a^2+b^2})^2 – (a+b)sqrt{a^2+b^2} + ab \)

\(VT^2 = a^2+b^2 – (a+b)sqrt{a^2+b^2} + ab \)

Sắp xếp lại các hạng tử:

\(VT^2 = a^2+b^2+ab – (a+b)sqrt{a^2+b^2} \)

Chúng ta đã hoàn thành việc bình phương và rút gọn vế trái. Hãy giữ kết quả này lại.

Bước 3: Bình phương vế phải (VP)

Gọi vế phải là VP:

\(VP = (a+b-sqrt{a^2+b^2})/sqrt2 \)

Bình phương vế phải, ta được:

\(VP^2 = ((a+b-sqrt{a^2+b^2})/sqrt2)^2 \)

\(VP^2 = (a+b-sqrt{a^2+b^2})^2 / (sqrt2)^2 \)

\(VP^2 = (a+b-sqrt{a^2+b^2})^2 / 2 \)

Bây giờ chúng ta sẽ khai triển biểu thức \(\((a+b-sqrt{a^2+b^2})^2\)\). Các em nhớ hằng đẳng thức \(\((A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2\)\) nhé. Ở đây, ta có thể coi \(A = a+b\) và \(B = sqrt{a^2+b^2}\).

\((a+b-sqrt{a^2+b^2})^2 = (a+b)^2 – 2(a+b)sqrt{a^2+b^2} + (sqrt{a^2+b^2})^2 \)

Tiếp tục khai triển:

\((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \)

\((sqrt{a^2+b^2})^2 = a^2+b^2 \)

Thay vào biểu thức trên:

\((a+b-sqrt{a^2+b^2})^2 = (a^2+2ab+b^2) – 2(a+b)sqrt{a^2+b^2} + (a^2+b^2) \)

Gộp các hạng tử lại:

\((a+b-sqrt{a^2+b^2})^2 = a^2+2ab+b^2+a^2+b^2 – 2(a+b)sqrt{a^2+b^2} \)

\((a+b-sqrt{a^2+b^2})^2 = 2a^2+2b^2+2ab – 2(a+b)sqrt{a^2+b^2} \)

Bây giờ, chúng ta thay kết quả này trở lại vào biểu thức của \(VP^2\):

\(VP^2 = (2a^2+2b^2+2ab – 2(a+b)sqrt{a^2+b^2}) / 2 \)

Chia cả tử số cho 2:

\(VP^2 = a^2+b^2+ab – (a+b)sqrt{a^2+b^2} \)

Bước 4: So sánh kết quả và kiểm tra dấu

Chúng ta có:

\(VT^2 = a^2+b^2+ab – (a+b)sqrt{a^2+b^2} \)

\(VP^2 = a^2+b^2+ab – (a+b)sqrt{a^2+b^2} \)

Rõ ràng là \(VT^2 = VP^2\)! Điều này có nghĩa là \(VT = \pm VP\).

Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra xem VT và VP có cùng dấu dương hay không. Đề bài cho \(a, b\) là các số dương.

Kiểm tra dấu của VT:

\(VT = sqrt{(sqrt{a^2+b^2}-a)(sqrt{a^2+b^2}-b)} \)

Vì \(a, b > 0\), ta có:

• \(a^2+b^2 > a^2 \Rightarrow sqrt{a^2+b^2} > sqrt{a^2} \Rightarrow sqrt{a^2+b^2} > a \). Vậy \(sqrt{a^2+b^2}-a > 0 \).
• \(a^2+b^2 > b^2 \Rightarrow sqrt{a^2+b^2} > sqrt{b^2} \Rightarrow sqrt{a^2+b^2} > b \). Vậy \(sqrt{a^2+b^2}-b > 0 \).

Vì cả hai thừa số trong căn đều dương, tích của chúng dương. Do đó, căn bậc hai của một số dương sẽ là một số dương.

Vậy, \(VT > 0 \).

Kiểm tra dấu của VP:

\(VP = (a+b-sqrt{a^2+b^2})/sqrt2 \)

Mẫu số \(sqrt2\) luôn dương. Chúng ta cần kiểm tra dấu của tử số \(a+b-sqrt{a^2+b^2}\).

Để biết \(a+b-sqrt{a^2+b^2}\) dương hay âm, ta so sánh \(a+b\) và \(sqrt{a^2+b^2}\). Vì cả \(a+b\) (do \(a,b>0\)) và \(sqrt{a^2+b^2}\) đều dương, ta có thể bình phương cả hai để so sánh:

• \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \)
• \((sqrt{a^2+b^2})^2 = a^2+b^2 \)

Vì \(a, b > 0\), nên \(2ab > 0\).

Do đó, \(a^2+2ab+b^2 > a^2+b^2 \).

Suy ra, \((a+b)^2 > (sqrt{a^2+b^2})^2 \).

Vì cả hai vế đều dương, ta có thể lấy căn bậc hai mà không đổi chiều bất đẳng thức:

\(a+b > sqrt{a^2+b^2} \).

Vậy, \(a+b-sqrt{a^2+b^2} > 0 \).

Vì tử số dương và mẫu số dương, nên \(VP > 0 \).

Bước 5: Kết luận

Vì \(VT^2 = VP^2\) và cả \(VT\) lẫn \(VP\) đều mang dấu dương, chúng ta có thể kết luận rằng \(VT = VP\).

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách làm. Điều quan trọng là phải cẩn thận trong từng phép biến đổi đại số và luôn nhớ kiểm tra điều kiện của đề bài (ví dụ như \(a, b\) dương) để đảm bảo các bước biến đổi là chính xác nhé!

Chúc các em học tốt!