Đề bài: Cho \(a,b\) là \(2\) số thực dương. Cho \(a+b=ab\) thoả mãn \(a^2+3a-b \ge 0\) và \(b^2+3b-a \ge 0\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=1/(a^2+3a-b)+1/(b^2+3b-a)+\)\(\sqrt[]{(1+a^2)(1+b^2)}\).

Bài giải:

Bước 1: Phân tích điều kiện \(a+b=ab\)

Từ điều kiện đã cho là \(a+b=ab\). Vì \(a, b\) là các số thực dương, nên \(ab \ne 0\). Ta chia cả hai vế của đẳng thức cho \(ab\):

\(\frac{a}{ab} + \frac{b}{ab} = \frac{ab}{ab}\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{b} + \frac{1}{a} = 1\).

Từ đây, ta có thể suy ra một số tính chất quan trọng của \(a\) và \(b\):

Thứ nhất, vì \(1/a\) và \(1/b\) là các số dương, và tổng của chúng bằng 1, nên \(1/a < 1\) và \(1/b < 1\). Điều này kéo theo \(a > 1\) và \(b > 1\).

Thứ hai, áp dụng bất đẳng thức AM-GM (Trung bình cộng – Trung bình nhân) cho hai số dương \(1/a\) và \(1/b\):

\(1 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt{\frac{1}{ab}}\)

Bình phương hai vế (vì cả hai vế đều dương):

\(1 \ge \frac{4}{ab}\)

\(\Rightarrow ab \ge 4\).

Dấu “=” của bất đẳng thức AM-GM xảy ra khi và chỉ khi \(1/a = 1/b\), tức là \(a=b\).

Khi \(a=b\), thay vào điều kiện \(a+b=ab\), ta được:

\(a+a = a \times a\)

\(2a = a^2\)

\(a^2 – 2a = 0\)

\(a(a-2) = 0\).

Vì \(a>0\) (theo đề bài), nên \(a=2\).

Vậy, dấu “=” trong \(ab \ge 4\) xảy ra khi \(a=b=2\). Khi đó \(ab = 2 \times 2 = 4\).

Bước 2: Biến đổi các biểu thức trong P và kiểm tra điều kiện phụ

Biểu thức P cần tìm giá trị nhỏ nhất là \(P=1/(a^2+3a-b)+1/(b^2+3b-a)+\)\(\sqrt[]{(1+a^2)(1+b^2)}\).

Ta sẽ biến đổi các mẫu số của hai phân thức đầu tiên bằng cách sử dụng \(a+b=ab\).

Từ \(a+b=ab\), ta suy ra \(b = ab-a\).

Khi đó, mẫu số thứ nhất là:

\(a^2+3a-b = a^2+3a-(ab-a) = a^2+3a-ab+a = a^2+4a-ab\).

Vì \(a>0\), ta có thể đặt \(a\) làm nhân tử chung:

\(a^2+4a-ab = a(a+4-b)\).

Tương tự, từ \(a+b=ab\), ta suy ra \(a = ab-b\).

Khi đó, mẫu số thứ hai là:

\(b^2+3b-a = b^2+3b-(ab-b) = b^2+3b-ab+b = b^2+4b-ab\).

Vì \(b>0\), ta có thể đặt \(b\) làm nhân tử chung:

\(b^2+4b-ab = b(b+4-a)\).

Các điều kiện đã cho là \(a^2+3a-b \ge 0\) và \(b^2+3b-a \ge 0\).

Vì \(a, b > 0\), các điều kiện này tương đương với:

\(a+4-b \ge 0 \Rightarrow a+4 \ge b\)

\(b+4-a \ge 0 \Rightarrow b+4 \ge a\)

Để thuận tiện cho việc tính toán, ta đặt \(X = a+4-b\) và \(Y = b+4-a\).

Từ các điều kiện trên, ta có \(X \ge 0\) và \(Y \ge 0\).

Ngoài ra, ta có thể tính tổng của \(X\) và \(Y\):

\(X+Y = (a+4-b) + (b+4-a) = a+4-b+b+4-a = 8\).

Như vậy, \(X\) và \(Y\) là hai số không âm có tổng bằng 8.

Biểu thức P bây giờ có dạng:

\(P = \frac{1}{aX} + \frac{1}{bY} + \sqrt[]{(1+a^2)(1+b^2)}\).

Bước 3: Đánh giá từng phần của biểu thức P để tìm giá trị nhỏ nhất

Ta sẽ đánh giá hai phần của biểu thức P riêng biệt.

Phần 1: Đánh giá tổng của hai phân thức \(S = 1/(aX) + 1/(bY)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel (một dạng của bất đẳng thức Schwarz), ta có:

\(S = \frac{1}{aX} + \frac{1}{bY} \ge \frac{(1+1)^2}{aX+bY} = \frac{4}{aX+bY}\).

Bây giờ, ta cần tính giá trị của mẫu số \(aX+bY\):

\(aX+bY = a(a+4-b) + b(b+4-a)\)

\( = (a^2+4a-ab) + (b^2+4b-ab)\)

\( = a^2+b^2+4a+4b-2ab\)

\( = (a^2+b^2) + 4(a+b) – 2ab\).

Ở Bước 1, ta đã đặt \(k=ab\), và vì \(a+b=ab\), nên \(a+b=k\).

Ngoài ra, \(a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab = k^2-2k\).

Thay các giá trị này vào biểu thức của \(aX+bY\):

\(aX+bY = (k^2-2k) + 4k – 2k = k^2-2k+4k-2k = k^2\).

Vậy, ta có:

\(S \ge \frac{4}{k^2}\).

Ở Bước 1, ta đã chứng minh được rằng \(k=ab \ge 4\).

Do đó, \(k^2 \ge 4^2 = 16\).

Vậy, \(S \ge \frac{4}{16} = \frac{1}{4}\).

Dấu “=” trong bất đẳng thức này xảy ra khi đồng thời:

1. Dấu “=” của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \(\frac{1}{aX} = \frac{1}{bY} \Rightarrow aX=bY\).

2. Dấu “=” của bất đẳng thức \(ab \ge 4\): \(ab=4\), điều này xảy ra khi \(a=b=2\).

Nếu \(a=b=2\), ta kiểm tra điều kiện \(aX=bY\):

\(X = a+4-b = 2+4-2=4\).

\(Y = b+4-a = 2+4-2=4\).

Khi đó \(aX = 2 \times 4 = 8\) và \(bY = 2 \times 4 = 8\).

Vậy \(aX=bY\) được thỏa mãn.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của tổng hai phân thức là \(1/4\), đạt được khi \(a=b=2\).

Phần 2: Đánh giá biểu thức căn thức \(\sqrt[]{(1+a^2)(1+b^2)}\)

Ta biến đổi biểu thức dưới dấu căn:

\(\sqrt[]{(1+a^2)(1+b^2)} = \sqrt[]{1+a^2+b^2+a^2b^2}\).

Sử dụng các biến đổi tương tự như trên: đặt \(k=ab\), và \(a^2+b^2=k^2-2k\).

Thay vào biểu thức căn thức:

\(\sqrt[]{1+(k^2-2k)+k^2} = \sqrt[]{2k^2-2k+1}\).

Đặt \(f(k) = \sqrt[]{2k^2-2k+1}\). Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(f(k)\) với điều kiện \(k=ab \ge 4\).

Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta xét hàm số \(g(k) = 2k^2-2k+1\). Đây là một parabol có hệ số của \(k^2\) dương (\(2>0\)), nên parabol này có bề lõm hướng lên trên, và đỉnh của nó là điểm cực tiểu.

Tọa độ đỉnh của parabol là \(k = -(-2)/(2 \times 2) = 2/4 = 1/2\).

Vì miền giá trị của \(k\) là \([4, +\infty)\), và \(1/2 < 4\), nên hàm số \(g(k)\) là hàm đồng biến trên miền \([4, +\infty)\).
Do đó, giá trị nhỏ nhất của \(g(k)\) trên miền này đạt được tại điểm đầu mút \(k=4\).

Giá trị nhỏ nhất của \(\sqrt[]{2k^2-2k+1}\) là \(\sqrt[]{2(4^2)-2(4)+1}\)

\( = \sqrt[]{2(16)-8+1}\)

\( = \sqrt[]{32-8+1}\)

\( = \sqrt[]{25} = 5\).

Dấu “=” xảy ra khi \(k=ab=4\), tức là \(a=b=2\).

Bước 4: Kết luận giá trị nhỏ nhất của P

Từ Bước 3, ta thấy rằng cả hai phần của biểu thức P (tổng hai phân thức và biểu thức căn thức) đều đạt giá trị nhỏ nhất khi \(a=b=2\).

Giá trị nhỏ nhất của tổng hai phân thức là \(1/4\).

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức căn thức là \(5\).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là tổng của hai giá trị nhỏ nhất này:

\(P_{min} = \frac{1}{4} + 5 = \frac{1}{4} + \frac{20}{4} = \frac{21}{4}\).

Giá trị này đạt được khi \(a=b=2\).

Ta kiểm tra lại các điều kiện với \(a=b=2\):

– \(a,b\) là số thực dương: \(2>0\), thỏa mãn.

– \(a+b=ab\): \(2+2=2 \times 2 \Rightarrow 4=4\), thỏa mãn.

– \(a^2+3a-b \ge 0\): \(2^2+3(2)-2 = 4+6-2=8 \ge 0\), thỏa mãn.

– \(b^2+3b-a \ge 0\): \(2^2+3(2)-2 = 4+6-2=8 \ge 0\), thỏa mãn.

Tất cả các điều kiện đều được thỏa mãn tại \(a=b=2\).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là \(\frac{21}{4}\).