Cho a,b thuộc Z và b > 0. So sánh 2 số hữu tỉ a/b và a+1/b+1

Chào các em học sinh lớp 7 thân mến! Hôm nay, thầy giáo sẽ giúp các em giải quyết một bài toán rất thú vị về số hữu tỉ. Đây là dạng toán đòi hỏi chúng ta phải biết cách xét các trường hợp và lập luận logic.

Để so sánh hai số hữu tỉ dạng phân số, chúng ta thường dùng phương pháp xét hiệu hoặc xét phần bù. Trong bài toán này, điều kiện ban đầu của chúng ta là các số a và b đều thuộc tập hợp số nguyên, và mẫu số b lớn hơn 0.

Vì tử số a có thể nhận các giá trị khác nhau so với mẫu số b, nên kết quả so sánh sẽ phụ thuộc vào mối quan hệ giữa a và b. Chúng ta sẽ chia làm ba trường hợp cụ thể sau đây:

Trường hợp thứ nhất: Khi tử số a nhỏ hơn mẫu số b (a nhỏ hơn b)

Nếu ban đầu tử số nhỏ hơn mẫu số, khi chúng ta cộng thêm 1 vào cả tử và mẫu, phân số tạo thành sẽ lớn hơn phân số ban đầu. Cụ thể như sau:

• Khi a nhỏ hơn b, ta có phân số thứ nhất nhỏ hơn phân số thứ hai.
• Ví dụ minh họa dễ hiểu: Cho a bằng 2, b bằng 3. Ta thấy 2 nhỏ hơn 3. Phân số thứ nhất là 2 phần 3. Phân số thứ hai sau khi cộng thêm 1 vào cả tử và mẫu là 3 phần 4. Quy đồng lên ta thấy 2 phần 3 (tức 8 phần 12) nhỏ hơn 3 phần 4 (tức 9 phần 12).

Trường hợp thứ hai: Khi tử số a lớn hơn mẫu số b (a lớn hơn b)

Ngược lại với trường hợp trên, nếu ban đầu tử số đã lớn hơn mẫu số, việc cộng thêm 1 vào cả tử và mẫu sẽ làm cho giá trị của phân số giảm đi.

• Khi a lớn hơn b, ta có phân số thứ nhất lớn hơn phân số thứ hai.
• Ví dụ minh họa: Cho a bằng 5, b bằng 3. Ta thấy 5 lớn hơn 3. Phân số thứ nhất là 5 phần 3. Phân số thứ hai sau khi cộng thêm 1 vào cả tử và mẫu là 6 phần 4 (rút gọn là 3 phần 2). So sánh 5 phần 3 và 3 phần 2, quy đồng mẫu số chung là 6 ta được 10 phần 6 lớn hơn 9 phần 6.

Trường hợp thứ ba: Khi tử số a bằng mẫu số b (a bằng b)

Đây là trường hợp đặc biệt và rất dễ nhận ra.

• Khi a bằng b, phân số thứ nhất có giá trị đúng bằng 1.
• Phân số thứ hai sau khi cộng thêm 1 vào tử và mẫu cũng có tử và mẫu bằng nhau, nên giá trị của nó cũng đúng bằng 1.
• Do đó, trong trường hợp này, hai số hữu tỉ bằng nhau.
• Ví dụ minh họa: Cho a bằng 4, b bằng 4. Ta có phân số 4 phần 4 bằng 1. Phân số mới là 5 phần 5 cũng bằng 1. Vậy hai số này bằng nhau.

Lời kết cho các em:

Như vậy, qua ba trường hợp trên, các em thấy rằng kết quả so sánh không phải lúc nào cũng giống nhau. Bài học rút ra là chúng ta phải luôn quan sát kỹ mối quan hệ giữa tử số và mẫu số ban đầu trước khi đưa ra kết luận. Chúc các em học tập thật tốt và luôn yêu thích môn Toán!