Chào các em học sinh lớp 10 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về vectơ trong hình học, một chủ đề rất quan trọng trong chương trình Toán 10 của chúng ta. Bài toán này không chỉ giúp các em ôn lại kiến thức về vectơ mà còn củng cố kỹ năng áp dụng công thức trong các tình huống cụ thể.

Đề bài:

Cho tam giác ABC cân tại A. Biết độ dài cạnh AB = a và góc BAC = 120 độ. Hãy tính giá trị của biểu thức \(|\vec{AB} + \vec{AC}|\).

Chúng ta hãy cùng phân tích đề bài và tìm ra lời giải chi tiết nhé!

Phân tích và lời giải:

Đề bài cho chúng ta các thông tin quan trọng sau:

• Tam giác ABC cân tại A. Điều này có nghĩa là hai cạnh bên AB và AC có độ dài bằng nhau.
• Độ dài cạnh AB = a. Từ đó, chúng ta suy ra ngay AC = a.
• Góc BAC = 120 độ. Đây là góc giữa hai vectơ \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\).

Yêu cầu của bài toán là tính độ lớn (modul) của tổng hai vectơ \(\vec{AB} + \vec{AC}\). Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng công thức tính độ lớn của tổng hai vectơ dựa trên định lý cosin. Đây là một công thức rất hữu ích trong việc tính toán với vectơ.

Công thức cần nhớ:
Cho hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\), và \(\theta\) là góc giữa chúng, ta có công thức tính độ lớn của tổng hai vectơ như sau:

\(|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\theta)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng công thức này vào bài toán cụ thể của chúng ta:

• Đặt \(\vec{u} = \vec{AB}\) và \(\vec{v} = \vec{AC}\).
• Độ lớn của vectơ \(\vec{AB}\) là \(|\vec{AB}| = AB = a\).
• Độ lớn của vectơ \(\vec{AC}\) là \(|\vec{AC}| = AC = a\).
• Góc giữa hai vectơ \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\) chính là góc BAC, tức là \(\theta = 120^\circ\).

Thay các giá trị này vào công thức:

\(|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 + 2|\vec{AB}||\vec{AC}|\cos(\angle BAC)\)

\(|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = a^2 + a^2 + 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)\)

Để tiếp tục tính toán, chúng ta cần nhớ giá trị của \(\cos(120^\circ)\). Trong các góc đặc biệt, \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\).

Thay giá trị này vào phương trình:

\(|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = 2a^2 + 2a^2 \left(-\frac{1}{2}\right)\)

\(|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = 2a^2 – a^2\)

\(|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = a^2\)

Để tìm độ lớn của tổng vectơ, chúng ta lấy căn bậc hai của cả hai vế:

\(|\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{a^2}\)

Vì ‘a’ là độ dài của một cạnh, nên \(a\) phải là một số dương (\(a > 0\)). Do đó, \(\sqrt{a^2} = a\).

\(|\vec{AB} + \vec{AC}| = a\)

Kết luận:

Vậy, độ lớn của tổng hai vectơ \(\vec{AB} + \vec{AC}\) là a.

Qua bài toán này, các em đã được củng cố cách áp dụng công thức tính độ lớn của tổng hai vectơ trong một trường hợp cụ thể. Hãy luôn nhớ rằng việc hiểu rõ các định nghĩa và công thức là chìa khóa để giải quyết các bài toán vectơ một cách hiệu quả!

Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!