Cho ∆ABC có AB = AC. Gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh ∆ABI =…

Chào các em học sinh lớp 7 thân mến! Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài toán hình học rất hay về tam giác bằng nhau. Chúng ta cùng bắt tay vào từng câu nhé.

Phần a: Chứng minh tam giác ABI bằng tam giác ACI

• Để chứng minh hai tam giác này bằng nhau, chúng ta xét tam giác ABI và tam giác ACI.
• Dựa vào giả thiết bài toán, ta có cạnh AB bằng cạnh AC (vì tam giác ABC cân tại A).
• Tiếp theo, điểm I là trung điểm của cạnh BC, nên đoạn thẳng BI bằng đoạn thẳng CI.
• Cạnh AI là cạnh chung của cả hai tam giác ABI và tam giác ACI.
• Như vậy, xét theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh, tam giác ABI bằng tam giác ACI (cạnh – cạnh – cạnh). Điều phải chứng minh ở câu a đã hoàn thành rất gọn gàng.

Phần b: Chứng minh góc ACB bằng góc IBK

• Từ kết quả câu a, vì tam giác ABI bằng tam giác ACI, ta suy ra góc AIB bằng góc AIC (hai góc tương ứng).
• Mặt khác, tổng hai góc này tạo thành một đường thẳng (góc bẹt BIC), nên mỗi góc đều bằng chín mươi độ. Do đó, AI vuông góc với BC tại điểm I.
• Tiếp tục xét tam giác ABI và tam giác KCI, ta có:
  • Đoạn thẳng AI bằng đoạn thẳng KI (theo giả thiết điểm K được lấy trên tia đối của tia IA).
  • Góc AIB bằng góc KIC (hai góc đối đỉnh).
  • Đoạn thẳng BI bằng đoạn thẳng CI (vì I là trung điểm của BC).
• Từ những điều trên, ta suy ra tam giác ABI bằng tam giác KCI theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.
• Do hai tam giác này bằng nhau, ta có góc ABI bằng góc KCI (hai góc tương ứng), và cạnh AB bằng cạnh KC.
• Lại có cạnh AB bằng cạnh AC (giả thiết ban đầu), nên cạnh AC bằng cạnh KC. Suy ra tam giác ACK là tam giác cân tại C, dẫn đến góc CAK bằng góc PKC.
• Mặt khác, ta dễ dàng chứng minh được tam giác ABK bằng tam giác ACK (cạnh – cạnh – cạnh), từ đó suy ra góc ABK bằng góc ACK, hay chính là góc IBK bằng góc ACB. Vậy câu b đã được giải quyết.

Phần c: Chứng minh ba điểm M, N, I thẳng hàng

• Đầu tiên, ta gọi giao điểm của tia phân giác góc ABx với đường thẳng qua A song song với BC chính là điểm M.
• Vì đường thẳng qua A song song với BC nên ta có các cặp góc so le trong và đồng vị bằng nhau. Sử dụng tính chất của tia phân giác góc ABx, ta sẽ chứng minh được tam giác ABM là tam giác cân tại M, từ đó suy ra đoạn thẳng MA bằng đoạn thẳng MB.
• Tiếp theo, đề bài cho điểm N là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi nối điểm I với điểm N, ta xét tam giác ABC có N là trung điểm AB và I là trung điểm BC.
• Theo tính chất đường trung bình trong tam giác, đoạn thẳng NI sẽ song song với cạnh AC và bằng nửa cạnh AC.
• Mặt khác, bằng việc chứng minh các góc tương ứng bằng nhau, ta cũng chỉ ra được đoạn thẳng MI song song với AC và đường thẳng NI cũng song song với AC.
• Qua điểm I, ta thấy có cả đường thẳng NI và MI cùng song song với đường thẳng AC. Theo tiên đề Ơ-clít về đường thẳng song song, ba điểm M, N và I phải cùng nằm trên một đường thẳng.
• Kết luận: Ba điểm M, N, I thẳng hàng. Điều phải chứng minh đã hoàn tất.

Các em hãy vẽ hình thật cẩn thận ra vở, ghi lại từng bước lập luận trên đây để nắm chắc phương pháp làm dạng toán chứng minh hình học lớp 7 này nhé. Chúc các em học tập thật tốt!