cho ΔABC, D và E là trung điểm của AB,AC. CMR:DE//BC và DE=1/2 BC

Chào các em học sinh thân mến! Với tư cách là giáo viên bộ môn Toán, thầy sẽ hướng dẫn các em chứng minh định lý về đường trung bình của tam giác một cách chi tiết và dễ hiểu nhất. Để chứng minh bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp vẽ thêm đường phụ và vận dụng kiến thức về tam giác bằng nhau.

Bước 1: Vẽ hình và xác định giả thiết

Trước hết, các em hãy vẽ tam giác ABC. Lấy D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC. Để chứng minh, chúng ta thực hiện vẽ thêm đường phụ như sau:

• Trên tia đối của tia ED, lấy điểm F sao cho EF = ED.
• Nối F với C.

Bước 2: Chứng minh hai tam giác bằng nhau

Xét hai tam giác ADE và CFE, ta có:

• AE = CE (vì E là trung điểm của AC theo giả thiết).
• Góc AED = Góc CEF (hai góc đối đỉnh).
• ED = EF (theo cách vẽ thêm ở bước 1).

Từ đó, ta suy ra tam giác ADE bằng tam giác CFE (cạnh – góc – cạnh). Điều này dẫn đến hai kết quả quan trọng:

• AD = CF (hai cạnh tương ứng).
• Góc DAE = Góc FCE (hai góc tương ứng).

Bước 3: Chứng minh DE song song với BC

Vì AD = CF mà AD = DB (do D là trung điểm AB), nên suy ra DB = CF.
Mặt khác, vì góc DAE = góc FCE và hai góc này ở vị trí so le trong, nên ta suy ra được AD song song với FC, hay nói cách khác là AB song song với FC.

Xét tứ giác BDFC có DB song song với FC và DB = FC (chứng minh trên), nên tứ giác BDFC là hình bình hành. Vì BDFC là hình bình hành nên DF song song với BC, hay nói cách khác là DE song song với BC.

Bước 4: Chứng minh DE bằng một nửa BC

Cũng từ tính chất của hình bình hành BDFC, ta có DF = BC (hai cạnh đối của hình bình hành).
Mà theo cách vẽ, ta có DF = DE + EF, trong đó DE = EF nên DF = 2 nhân DE.

Từ hai điều trên, ta có 2 nhân DE = BC. Suy ra DE = 1/2 BC.

Kết luận:

Như vậy, chúng ta đã chứng minh xong: Trong một tam giác, đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh là đường trung bình, nó song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh đó. Các em hãy ghi nhớ tính chất này để áp dụng vào các bài tập hình học lớp 7 tiếp theo nhé!