Cho `a,b,c in NN` thỏa mãn `ab+bc+ca = 2024c^2` và `a-b` là số nguyên tố. Chứng …
Đề bài: Cho \(a,b,c \in \mathbb{N}\) thỏa mãn \(ab+bc+ca = 2024c^2\) và \(a-b\) là số nguyên tố. Chứng minh \(180c+1\) là số chính phương.
Chúng ta cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán này nhé!
Phân tích đề bài:
- \(a,b,c \in \mathbb{N}\): Tức là \(a,b,c\) là các số tự nhiên (nguyên dương), tức là \(a,b,c \ge 1\). Điều này quan trọng để đảm bảo các biểu thức của chúng ta có giá trị dương.
- \(ab+bc+ca = 2024c^2\): Đây là một phương trình cho trước, chúng ta sẽ cần biến đổi nó.
- \(a-b\) là số nguyên tố: Ký hiệu số nguyên tố này là \(p\). Vì \(p\) là số nguyên tố, nên \(p \ge 2\). Từ điều kiện này, ta cũng suy ra \(a-b\) phải là số dương, tức là \(a > b\).
- Chứng minh \(180c+1\) là số chính phương: Đây là mục tiêu cuối cùng của chúng ta.
Bắt đầu giải bài toán:
Bước 1: Biến đổi phương trình đã cho.
Chúng ta có phương trình: \(ab+bc+ca = 2024c^2\).
Để ý rằng vế trái của phương trình có thể được đưa về dạng tích khá quen thuộc. Hãy thử cộng thêm \(c^2\) vào hai vế:
\(ab+bc+ca+c^2 = 2024c^2+c^2\)
\(ab+c(b+a)+c^2 = 2025c^2\)
Bên vế trái, ta có thể nhóm lại thành tích của hai thừa số: \((a+c)(b+c)\).
Thật vậy, \((a+c)(b+c) = ab+ac+bc+c^2 = ab+c(a+b)+c^2\). Đây chính xác là vế trái sau khi cộng thêm \(c^2\).
Vậy, phương trình trở thành:
\((a+c)(b+c) = 2025c^2\) (Phương trình 1)
Bước 2: Sử dụng điều kiện \(a-b\) là số nguyên tố.
Đặt \(X = a+c\) và \(Y = b+c\).
Từ điều kiện \(a,b,c \in \mathbb{N}\), ta có \(a,b,c \ge 1\), suy ra \(X=a+c \ge 1+1=2\) và \(Y=b+c \ge 1+1=2\). Vậy \(X\) và \(Y\) là các số nguyên dương.
Khi đó, Phương trình 1 trở thành:
\(XY = 2025c^2\)
Bây giờ, chúng ta liên hệ với điều kiện \(a-b\) là số nguyên tố. Ta có thể biểu diễn \(a-b\) qua \(X\) và \(Y\):
\(X-Y = (a+c)-(b+c) = a-b\).
Đặt \(p = a-b\), với \(p\) là một số nguyên tố.
Vậy, ta có hệ hai phương trình:
- \(XY = 2025c^2\)
- \(X-Y = p\)
Chúng ta biết một đẳng thức đại số quan trọng: \((X+Y)^2 = (X-Y)^2 + 4XY\).
Thay các giá trị \(X-Y=p\) và \(XY=2025c^2\) vào đẳng thức này:
\((X+Y)^2 = p^2 + 4(2025c^2)\)
\((X+Y)^2 = p^2 + 8100c^2\)
Để ý rằng \(8100 = 90^2\), nên \(8100c^2 = (90c)^2\).
Vậy, ta có:
\((X+Y)^2 = p^2 + (90c)^2\)
Bước 3: Phân tích đẳng thức \((X+Y)^2 = p^2 + (90c)^2\).
Đặt \(K = X+Y\). Vì \(X,Y\) là các số nguyên, \(K\) cũng là một số nguyên.
Phương trình trở thành: \(K^2 = p^2 + (90c)^2\).
Ta có thể viết lại là: \(K^2 – p^2 = (90c)^2\).
Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương \((A^2-B^2 = (A-B)(A+B))\), ta được:
\((K-p)(K+p) = (90c)^2\) (Phương trình 2)
Bây giờ chúng ta cần phân tích các thừa số \(K-p\) và \(K+p\).
Ta có \(X = a+c\) và \(Y = b+c\). Vì \(a>b\) (do \(a-b=p>0\)), nên \(X > Y\).
Vì \(X, Y \ge 2\), ta có \(K=X+Y \ge 4\). Hơn nữa, \(K = X+Y > X-Y = p\).
Hãy xét tính chẵn lẻ của \(K-p\) và \(K+p\):
\((K+p) – (K-p) = 2p\), là một số chẵn. Điều này có nghĩa là \(K+p\) và \(K-p\) phải cùng tính chẵn lẻ (hoặc cùng chẵn, hoặc cùng lẻ).
Tích của chúng là \((K-p)(K+p) = (90c)^2\). Vì \(90c\) là một số chẵn, \((90c)^2\) là một số chẵn. Do đó, cả \(K-p\) và \(K+p\) phải là các số chẵn.
Vì \(K-p\) và \(K+p\) đều là số chẵn, ta có thể đặt:
\(K-p = 2u\) (với \(u\) là số nguyên dương, vì \(K>p\))
\(K+p = 2v\) (với \(v\) là số nguyên dương, vì \(K>0\) và \(p>0\))
Thay vào Phương trình 2:
\((2u)(2v) = (90c)^2\)
\(4uv = 8100c^2\)
\(uv = 2025c^2\)
Để đơn giản hơn, \(2025 = 45^2\), nên \(uv = (45c)^2\).
Bây giờ, ta tìm mối quan hệ giữa \(u\) và \(v\).
Lấy \((K+p) – (K-p)\):
\(2v – 2u = 2p\)
\(v-u = p\)
Chúng ta có hệ:
- \(uv = (45c)^2\)
- \(v-u = p\)
Ta xét ước chung lớn nhất của \(u\) và \(v\): \(\gcd(u,v) = \gcd(u, v-u) = \gcd(u,p)\).
Vì \(p\) là số nguyên tố, \(\gcd(u,p)\) chỉ có thể bằng \(1\) hoặc \(p\).
Trường hợp 1: \(\gcd(u,p) = 1\).
Khi đó, \(\gcd(u,v)=1\). (Tức là \(u\) và \(v\) nguyên tố cùng nhau).
Vì \(uv = (45c)^2\) (là một số chính phương) và \(u,v\) nguyên tố cùng nhau, suy ra cả \(u\) và \(v\) đều phải là các số chính phương.
Đặt \(u = m^2\) và \(v = n^2\), với \(m,n\) là các số nguyên dương.
Thay vào \(v-u=p\):
\(n^2 – m^2 = p\)
\((n-m)(n+m) = p\)
Vì \(p\) là số nguyên tố, \(p\) chỉ có hai ước dương là \(1\) và \(p\).
Vì \(n,m\) là các số nguyên dương, \(n+m > n-m\). Do đó, ta phải có:
- \(n-m = 1\)
- \(n+m = p\)
Giải hệ phương trình này:
Cộng hai phương trình: \((n-m)+(n+m) = 1+p \Rightarrow 2n = p+1 \Rightarrow n = \frac{p+1}{2}\).
Trừ hai phương trình: \((n+m)-(n-m) = p-1 \Rightarrow 2m = p-1 \Rightarrow m = \frac{p-1}{2}\).
Để \(m,n\) là các số nguyên, \(p+1\) và \(p-1\) phải là số chẵn. Điều này có nghĩa là \(p\) phải là một số nguyên tố lẻ. (Nếu \(p=2\), thì \(m=(2-1)/2 = 1/2\), không phải số nguyên. Vậy \(p \ne 2\)).
Thay \(u=m^2\) và \(v=n^2\) vào \(uv=(45c)^2\):
\(m^2 n^2 = (45c)^2\)
\((mn)^2 = (45c)^2\)
Vì \(m,n,c\) là các số dương, ta lấy căn bậc hai hai vế:
\(mn = 45c\)
Bây giờ, thay biểu thức của \(m\) và \(n\) theo \(p\) vào phương trình này:
\(\left(\frac{p-1}{2}\right) \left(\frac{p+1}{2}\right) = 45c\)
\(\frac{(p-1)(p+1)}{4} = 45c\)
\(\frac{p^2-1}{4} = 45c\)
\(p^2-1 = 4 \times 45c\)
\(p^2-1 = 180c\)
\(p^2 = 180c+1\)
Vì \(p\) là số nguyên tố, \(p^2\) là một số chính phương. Vậy \(180c+1\) là một số chính phương.
Đây là điều chúng ta cần chứng minh!
Trường hợp 2: \(\gcd(u,p) = p\).
Khi đó, \(\gcd(u,v)=p\). Điều này có nghĩa là \(u\) và \(v\) đều là bội của \(p\).
Ta đặt \(u = pk\) và \(v = pl\), với \(k,l\) là các số nguyên dương và \(\gcd(k,l)=1\).
Thay vào \(v-u=p\):
\(pl – pk = p\)
\(p(l-k) = p\)
Vì \(p \ne 0\), ta chia cả hai vế cho \(p\):
\(l-k = 1\)
Thay \(u=pk\) và \(v=pl\) vào \(uv=(45c)^2\):
\((pk)(pl) = (45c)^2\)
\(p^2 kl = (45c)^2\)
Vì \(p^2 kl\) là một số chính phương và \(p^2\) cũng là một số chính phương, suy ra \(kl\) phải là một số chính phương.
Mặt khác, \(k\) và \(l\) là hai số nguyên dương liên tiếp (\(l=k+1\)) và nguyên tố cùng nhau (\(\gcd(k,l)=1\)).
Hai số nguyên dương liên tiếp mà tích của chúng là số chính phương thì chỉ có thể là \(0 \times 1\) hoặc \(1 \times 0\), nhưng \(k,l\) là số dương, nên trường hợp này không thể xảy ra với \(k,l > 0\).
Nếu ta xét \(k,l\) là các số tự nhiên (bao gồm 0), thì \(k=0\) và \(l=1\) (hoặc ngược lại). Nhưng \(l-k=1\), nên \(k=0, l=1\).
Nếu \(k=0\), thì \(u=pk = p \times 0 = 0\).
Nếu \(u=0\), thì \(K-p = 2u = 0 \Rightarrow K=p\).
Thay \(K=p\) vào phương trình \((X+Y)^2 = p^2 + (90c)^2\), ta có:
\(p^2 = p^2 + (90c)^2\)
Điều này suy ra \((90c)^2 = 0\), hay \(90c=0\), tức là \(c=0\).
Tuy nhiên, đề bài cho \(c \in \mathbb{N}\), tức là \(c \ge 1\). Do đó, trường hợp \(c=0\) là vô lý.
Vậy, Trường hợp 2 không thể xảy ra.
Kết luận:
Chỉ có Trường hợp 1 là hợp lệ, dẫn đến kết quả \(180c+1 = p^2\).
Vì \(p\) là một số nguyên tố (nên \(p\) là số nguyên), \(p^2\) là một số chính phương.
Vậy, chúng ta đã chứng minh được \(180c+1\) là một số chính phương.
Hy vọng bài giải này giúp các em hiểu rõ cách phân tích và giải quyết bài toán. Hãy nhớ rằng việc biến đổi linh hoạt các biểu thức đại số và tận dụng tối đa các điều kiện của đề bài là chìa khóa để giải quyết những bài toán như thế này nhé!
Giải thích các bước giải:
\(\begin{aligned} &\text{Đặt } a – b = p \text{ (với } p \text{ là số nguyên tố). Từ giả thiết:} \\ &ab + bc + ca = 2024c^2 \Leftrightarrow ab + c(a+b) = 2024c^2 \\ &\text{Thay } a = b + p \text{ vào đẳng thức trên, ta được:} \\ &b(b+p) + c(2b+p) = 2024c^2 \Leftrightarrow b^2 + pb + 2bc + pc = 2024c^2 \\ &\text{Ta có:} \\ &4b^2 + 4b(p+2c) + 4pc = 8096c^2 \\ &\Leftrightarrow (2b+p+2c)^2 – p^2 – 4c^2 = 8096c^2 \\ &\Leftrightarrow (2b+p+2c)^2 – (90c)^2 = p^2 \\ &\Leftrightarrow (2b+p-88c)(2b+p+92c) = p^2 \\ &\text{Vì } a, b, c \in \mathbb{N} \text{ và } p \text{ là số nguyên tố nên:} \\ &2b+p+92c > 2b+p-88c \\ &\text{Do đó, ta có hệ phương trình sau:} \\ &\begin{cases} 2b+p+92c = p^2 \\ 2b+p-88c = 1 \end{cases} \\ &\text{Trừ vế với vế của hai phương trình ta được:} \\ &180c = p^2 – 1 \Leftrightarrow 180c + 1 = p^2 \\ &\text{Vì } p \text{ là số nguyên tố nên } p \in \mathbb{N}, \text{ suy ra } p^2 \text{ là số chính phương.} \\ &\text{Vậy } 180c + 1 \text{ là số chính phương (đpcm).} \end{aligned}\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment