Cho `a,b,c in ZZ` thỏa mãn $$ \dfrac{a+b}{bc} = \dfrac{b+c}{ac} = \dfrac{c+a}{ab…
Chứng minh \(a=b=c\)
Bài toán: Cho \(a,b,c \in \mathbb{Z}\) thỏa mãn
\[ \dfrac{a+b}{bc} = \dfrac{b+c}{ac} = \dfrac{c+a}{ab} \]
Chứng minh \(a=b=c\).
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi tương đương và xét các trường hợp có thể xảy ra.
Bước 1: Phân tích điều kiện bài toán.
Ta có ba biểu thức bằng nhau:
\( \dfrac{a+b}{bc} = \dfrac{b+c}{ac} = \dfrac{c+a}{ab} \)
Điều kiện này chỉ có nghĩa khi các mẫu số khác 0, tức là \(a \neq 0\), \(b \neq 0\), và \(c \neq 0\). Nếu một trong ba số bằng 0, chẳng hạn \(a=0\), thì mẫu số \(ac\) và \(ab\) sẽ bằng 0, làm cho biểu thức không xác định. Do đó, chúng ta ngầm hiểu rằng \(a, b, c\) là các số nguyên khác 0.
Bước 2: Biến đổi để đưa về dạng dễ làm việc hơn.
Chúng ta có thể nhân chéo các biểu thức để loại bỏ mẫu số. Hãy xem xét hai cặp đẳng thức đầu tiên:
Từ \( \dfrac{a+b}{bc} = \dfrac{b+c}{ac} \), nhân cả hai vế với \(abc\) (vì \(a, b, c \neq 0\)), ta được:
\( \dfrac{a+b}{bc} \cdot abc = \dfrac{b+c}{ac} \cdot abc \)
\( (a+b)a = (b+c)b \)
\( a^2 + ab = b^2 + bc \)
Chuyển tất cả các hạng tử về một vế, ta có:
\( a^2 – b^2 + ab – bc = 0 \)
\( (a-b)(a+b) + b(a-c) = 0 \) <-- Chú ý ở đây, ta có thể nhóm \(ab - bc = b(a-c)\). Tuy nhiên, để tiến xa hơn, chúng ta có thể biến đổi như sau:
Quay lại \( a^2 + ab = b^2 + bc \), ta nhóm các hạng tử tương tự lại:
\( a^2 – b^2 + ab – bc = 0 \)
\( (a-b)(a+b) + b(a-c) = 0 \) <-- Vẫn chưa thấy dễ. Chúng ta thử sắp xếp lại như sau:
\( a^2 + ab = b^2 + bc \)
\( a^2 – b^2 + ab – bc = 0 \)
\( (a-b)(a+b) + b(a-c) = 0 \)
Hãy thử cách khác. Từ \( a^2 + ab = b^2 + bc \), ta chuyển \(b^2\) sang vế trái và \(ab\) sang vế phải:
\( a^2 – b^2 = bc – ab \)
\( (a-b)(a+b) = b(c-a) \)
\( (a-b)(a+b) = -b(a-c) \) (Phương trình 1)
Bây giờ, chúng ta xét cặp đẳng thức thứ hai và thứ ba:
Từ \( \dfrac{b+c}{ac} = \dfrac{c+a}{ab} \), nhân cả hai vế với \(abc\), ta được:
\( (b+c)b = (c+a)c \)
\( b^2 + bc = c^2 + ac \)
\( b^2 – c^2 = ac – bc \)
\( (b-c)(b+c) = c(a-b) \) (Phương trình 2)
Tương tự, xét cặp đẳng thức thứ nhất và thứ ba:
Từ \( \dfrac{a+b}{bc} = \dfrac{c+a}{ab} \), nhân cả hai vế với \(abc\), ta được:
\( (a+b)a = (c+a)c \)
\( a^2 + ab = c^2 + ac \)
\( a^2 – c^2 = ac – ab \)
\( (a-c)(a+c) = a(c-b) \)
\( (a-c)(a+c) = -a(b-c) \) (Phương trình 3)
Bước 3: Giải hệ phương trình và xét các trường hợp.
Chúng ta có hệ ba phương trình:
- \( (a-b)(a+b) = -b(a-c) \)
- \( (b-c)(b+c) = c(a-b) \)
- \( (a-c)(a+c) = -a(b-c) \)
Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét trường hợp khi các hiệu \(a-b\), \(b-c\), \(c-a\) bằng 0.
Trường hợp 1: Có ít nhất hai trong ba số \(a, b, c\) bằng nhau.
Giả sử \(a=b\). Thay vào Phương trình 1:
\( (a-a)(a+a) = -a(a-c) \)
\( 0 \cdot (2a) = -a(a-c) \)
\( 0 = -a(a-c) \)
Vì \(a \neq 0\), nên ta phải có \(a-c = 0\), suy ra \(a=c\).
Vậy, nếu \(a=b\), thì \(a=c\). Do đó, \(a=b=c\).
Tương tự, nếu ta giả sử \(b=c\), thay vào Phương trình 2:
\( (b-b)(b+b) = b(a-b) \)
\( 0 \cdot (2b) = b(a-b) \)
\( 0 = b(a-b) \)
Vì \(b \neq 0\), nên ta phải có \(a-b = 0\), suy ra \(a=b\).
Vậy, nếu \(b=c\), thì \(a=b\). Do đó, \(a=b=c\).
Nếu giả sử \(c=a\), thay vào Phương trình 3:
\( (a-a)(a+a) = -a(b-a) \)
\( 0 \cdot (2a) = -a(b-a) \)
\( 0 = -a(b-a) \)
Vì \(a \neq 0\), nên ta phải có \(b-a = 0\), suy ra \(b=a\).
Vậy, nếu \(c=a\), thì \(b=a\). Do đó, \(a=b=c\).
Như vậy, trong trường hợp có ít nhất hai số bằng nhau, chúng ta đã chứng minh được \(a=b=c\).
Trường hợp 2: Ba số \(a, b, c\) đôi một khác nhau.
Trong trường hợp này, \(a-b \neq 0\), \(b-c \neq 0\), và \(a-c \neq 0\).
Chúng ta có thể chia cả hai vế của các phương trình ở trên cho các hiệu này.
Từ Phương trình 2: \( (b-c)(b+c) = c(a-b) \)
Chia cả hai vế cho \( (b-c)(a-b) \) (vì chúng khác 0), ta được:
\( \dfrac{b+c}{a-b} = \dfrac{c}{(b-c)} \) <-- Sai lầm trong phép chia.
Chúng ta hãy trở lại các biểu thức ban đầu và làm cách khác.Trả lời bởi: Giáo viên Chuyên Môn
\(ĐK: a, b, c ne 0\)
\(TH1: a + b + c = 0\)
\(=> a + b = -c; b + c = -a; c + a = -b\)
Thay vào đề bài ta có:
\(-c / (bc) = -a / (ac) = -b / (ab)\)
\(=> -1/b = -1/c = -1/a\)
\(=> a = b = c\)
Mà \(a + b + c = 0 => 3a = 0 => a = 0\) (vô lý).
\(=>\) Trường hợp này không xảy ra.
\(TH2: a + b + c ne 0\)
Nhân cả tử và mẫu với \(a, b, c\) ta có:
\([a(a + b)] / [abc] = [b(b + c)] / [abc] = [c(c + a)] / [abc]\)
\(=> a^2 + ab = b^2 + bc = c^2 + ca\)
Ta có:
\(a^2 + ab = b^2 + bc => a^2 – b^2 = b(c – a) (1)\)
\(b^2 + bc = c^2 + ca => b^2 – c^2 = c(a – b) (2)\)
\(c^2 + ca = a^2 + ab => c^2 – a^2 = a(b – c) (3)\)
Nhân vế với vế \((1), (2), (3)\) ta có:
\((a^2 – b^2)(b^2 – c^2)(c^2 – a^2) = abc(a – b)(b – c)(c – a)\)
\(=> (a – b)(a + b)(b – c)(b + c)(c – a)(c + a) = abc(a – b)(b – c)(c – a)\)
Giả sử \(a, b, c\) đôi một khác nhau \(=> (a – b)(b – c)(c – a) ne 0\). Rút gọn \(2\) vế ta có:
\(=> (a + b)(b + c)(c + a) = abc\) (Mâu thuẫn với tỉ lệ thức ban đầu)
\(=>\) Giả sử sai, do đó phải có ít nhất hai số bằng nhau.
Giả sử \(a = b\), thay vào \((2)\) ta có:
b^2 – c^2 = c*0 = 0\(
\)=> b = c\( hoặc\) b = -c\(
Nếu \)b = -c => b + c = 0 => (b + c) / ac = 0\(
\)=> (a + b) / bc = 0 => a + b = 0 => a = -b\( (vô lý).
\)=> b = c\(
\)=>\( \)a = b = c (đpcm)`
ĐK: \(a,b,c!=0\)
\((a+b)/(bc)=(b+c)/(ac)=(c+a)/(ab)\)
\(=>(a(a+b))/(abc)=(b(b+c))/(abc)=(c(a+c))/(abc)\)
\(=>a(a+b)=b(b+c)=c(c+a)\) \((1)\)
Gọi \(d=”UCLN”(a, b, c) >= 1\)
\(=>a=dA, b=dB, c=dC\) với \(“UCLN”(A, B, C)=1\)
Thay vào \((1)\) ta được:
\(d^2A(A+B)=d^2B(B+C)=d^2C(C+A)\)
\(=>A(A+B)=B(B+C)=C(C+A)\) \((2)\)
Giả sử tồn tại số nguyên tố \(p\) sao cho \(Avdotsp\)
Từ \((2) => {(C(C+A) vdots p=> C^2+CA vdots p=> C^2 vdots p => C vdots p),(B(B+C) vdots p => B^2+BC vdots p=> B^2 vdots p => B vdots p):}\)
\(=>p=”UC”(A, B, C)>=2\) (vô lí vì \(“UCLN”(A, B, C)=1)\)
\(=>A\) không có ước nguyên tố nào
\(=>A in {1,-1}\)
\(=>B, C in {1,-1}\) (vì \(A,B,C\) có tính hoán vị vòng quanh)
Xét \(A, B, Cin{1,-1}\)
\(@\) Nếu hai số bằng \(1,\) một số bằng \(-1\)
KMTTQ giả sử \(A=1, B=1, C=-1\)
Thay vào \((2)=> 2=0\) (vô lí)
\(@\) Nếu hai số bằng \(-1,\) một số bằng \(1\)
KMTTQ giả sử \(A=-1, B=-1, C=1\)
Thay vào \((2)=> 2=0\) (vô lí)
\(=> A=B=C=+-1\)
\(=> a=b=c\)
(ĐPCM)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment