Đề bài: Cho \(a,b,c\) là các số thực thoả mãn : \(a+b+c=0\) và \(a^2=2(a+c+1)(a+b-1)\) . Tính giá trị biểu thức \(A=a^2+b^2+c^2\).

Phân tích đề bài:

Chúng ta có hai điều kiện quan trọng:

1. \(a+b+c=0\)
2. \(a^2=2(a+c+1)(a+b-1)\)

Và chúng ta cần tính giá trị của \(A=a^2+b^2+c^2\).

Hướng giải:

Từ điều kiện \(a+b+c=0\), chúng ta có thể biểu diễn một biến theo hai biến còn lại. Điều này sẽ giúp chúng ta đơn giản hóa phương trình thứ hai.

Từ \(a+b+c=0\), ta có:

• \(b+c = -a\)
• \(a+c = -b\)
• \(a+b = -c\)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế các biểu thức này vào phương trình thứ hai:

\(a^2=2(a+c+1)(a+b-1)\)

Thay \(a+c = -b\) vào, ta được:

\(a^2=2(-b+1)(a+b-1)\)

Tiếp tục, ta có thể thấy rằng trong ngoặc thứ hai, \(a+b-1\) có thể được viết lại bằng cách sử dụng \(a+b = -c\).

Vậy, \(a+b-1 = -c-1\).

Thay vào phương trình, ta được:

\(a^2=2(-b+1)(-c-1)\)

Ta có thể nhân hai biểu thức trong ngoặc:

\((-b+1)(-c-1) = (-b)(-c) + (-b)(-1) + (1)(-c) + (1)(-1)\)

\(= bc + b – c – 1\)

Do đó, phương trình trở thành:

\(a^2 = 2(bc + b – c – 1)\)

\(a^2 = 2bc + 2b – 2c – 2\)

Chúng ta có một phương trình với \(a, b, c\). Bây giờ chúng ta cần tìm mối liên hệ giữa \(a^2+b^2+c^2\) và phương trình này.

Hãy thử sử dụng lại điều kiện \(a+b+c=0\). Bình phương hai vế của \(a+b+c=0\):

\((a+b+c)^2 = 0^2\)

\(a^2+b^2+c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = 0\)

\(a^2+b^2+c^2 = -2(ab+bc+ca)\)

Từ phương trình \(a^2 = 2bc + 2b – 2c – 2\), ta có thể thử biến đổi để đưa về dạng liên quan đến \(ab+bc+ca\).

Hãy quay lại bước thay thế:

\(a^2=2(a+c+1)(a+b-1)\)

Chúng ta đã thay \(a+c = -b\) và \(a+b = -c\).

Hãy thử thay thế theo một cách khác. Từ \(a+b+c=0\):

• \(a+c = -b\)
• \(a+b = -c\)

Phương trình thứ hai là:

\(a^2 = 2(a+c+1)(a+b-1)\)

Thay \(a+c = -b\), ta có:

\(a^2 = 2(-b+1)(a+b-1)\)

Để ý rằng \(a+b-1 = -c-1\). Tuy nhiên, cách này đã dẫn đến biểu thức phức tạp.

Hãy xem xét lại biểu thức trong ngoặc thứ hai: \(a+b-1\). Nếu chúng ta thay \(b\) từ \(a+b+c=0\), tức là \(b = -a-c\), thì:

\(a+b-1 = a+(-a-c)-1 = -c-1\).

Vậy, phương trình là:

\(a^2 = 2(a+c+1)(-c-1)\)

Bây giờ, chúng ta hãy thay \(a+c = -b\):

\(a^2 = 2(-b+1)(-c-1)\)

Nhân ra:

\(a^2 = 2(bc + b – c – 1)\)

\(a^2 = 2bc + 2b – 2c – 2\)

Chúng ta cần tính \(A = a^2+b^2+c^2\). Có cách nào để từ phương trình trên suy ra \(A\) không?

Hãy thử thay \(b\) và \(c\) theo \(a\) và một biến khác. Từ \(a+b+c=0\), ta có \(c = -a-b\).

Thế vào phương trình thứ hai:

\(a^2 = 2(a+(-a-b)+1)(a+b-1)\)

\(a^2 = 2(-b+1)(a+b-1)\)

Nhân ra:

\(a^2 = 2(-ab -b^2 + b + a + b – 1)\)

\(a^2 = 2(-ab -b^2 + 2b + a – 1)\)

\(a^2 = -2ab – 2b^2 + 4b + 2a – 2\)

Chuyển vế:

\(a^2 + 2ab + 2b^2 – 2a – 4b + 2 = 0\)

Đây là một phương trình liên quan đến \(a\) và \(b\). Chúng ta cần tìm \(a^2+b^2+c^2\). Vì \(c=-a-b\), nên:

\(c^2 = (-a-b)^2 = a^2+2ab+b^2\)

\(A = a^2+b^2+c^2 = a^2+b^2+(a^2+2ab+b^2) = 2a^2+2b^2+2ab\)

\(A = 2(a^2+b^2+ab)\)

Ta có phương trình: \(a^2 + 2ab + 2b^2 – 2a – 4b + 2 = 0\).

Hãy thử sắp xếp lại phương trình này để liên hệ với \(a^2+b^2+ab\).

Nhìn vào biểu thức \(A = 2(a^2+b^2+ab)\), ta có thể thử tách \(a^2+b^2+ab\) từ phương trình trên.

Xét phương trình: \(a^2 + 2ab + 2b^2 – 2a – 4b + 2 = 0\).

Chúng ta có thể cố gắng nhóm các hạng tử để xuất hiện \(a^2+b^2+ab\).

Hãy thử biến đổi phương trình về dạng \(a^2+b^2+ab = k\) nào đó.

Từ \(a^2 + 2ab + 2b^2 – 2a – 4b + 2 = 0\), ta có thể viết lại là:

\((a^2+ab+b^2) + ab + b^2 – 2a – 4b + 2 = 0\)

Điều này chưa giúp ích nhiều.

Hãy quay lại phương trình ban đầu và thử thay thế khác:

\(a^2=2(a+c+1)(a+b-1)\)

Từ \(a+b+c=0\):

\(a+c = -b\)

\(a+b = -c\)

Thế vào:

\(a^2 = 2(-b+1)(-c-1)\)

\(a^2 = 2(bc+b-c-1)\)

\(a^2 = 2bc + 2b – 2c – 2\)

\(a^2 – 2bc – 2b + 2c + 2 = 0\)

Bình phương \(a+b+c=0\):

\(a^2+b^2+c^2 + 2ab+2bc+2ca = 0\)

\(a^2+b^2+c^2 = -2(ab+bc+ca)\)

Hãy xem xét lại \(a^2 = 2bc + 2b – 2c – 2\). Chúng ta có thể thử cộng \(b^2+c^2\) vào hai vế:

\(a^2+b^2+c^2 = 2bc + 2b – 2c – 2 + b^2+c^2\)

\(A = b^2+c^2+2bc + 2b – 2c – 2\)

\(A = (b+c)^2 + 2b – 2c – 2\)

Từ \(a+b+c=0\), ta có \(b+c = -a\).

\(A = (-a)^2 + 2b – 2c – 2\)

\(A = a^2 + 2b – 2c – 2\)

Chúng ta có hai biểu thức cho \(A\):

1. \(A = a^2+b^2+c^2\)
2. \(A = a^2 + 2b – 2c – 2\)

Cho hai biểu thức này bằng nhau:

\(a^2+b^2+c^2 = a^2 + 2b – 2c – 2\)

\(b^2+c^2 = 2b – 2c – 2\)

\(b^2 – 2b + c^2 + 2c + 2 = 0\)

Ta có thể hoàn thành bình phương cho \(b\) và \(c\):

\((b^2 – 2b + 1) + (c^2 + 2c + 1) = 0\)

\((b-1)^2 + (c+1)^2 = 0\)

Vì \(b\) và \(c\) là các số thực, \((b-1)^2 \geq 0\) và \((c+1)^2 \geq 0\). Tổng của hai số không âm bằng 0 chỉ khi cả hai số đó bằng 0.

Do đó:

• \(b-1 = 0 \implies b = 1\)
• \(c+1 = 0 \implies c = -1\)

Bây giờ, chúng ta sử dụng điều kiện \(a+b+c=0\) để tìm \(a\):

\(a + 1 + (-1) = 0\)

\(a = 0\)

Vậy chúng ta có \(a=0, b=1, c=-1\).

Bây giờ, chúng ta kiểm tra lại với phương trình ban đầu: \(a^2=2(a+c+1)(a+b-1)\).

Vế trái: \(a^2 = 0^2 = 0\).

Vế phải: \(2(0+(-1)+1)(0+1-1) = 2(0)(0) = 0\).

Phương trình được thoả mãn.

Cuối cùng, chúng ta tính giá trị biểu thức \(A=a^2+b^2+c^2\):

\(A = 0^2 + 1^2 + (-1)^2\)

\(A = 0 + 1 + 1\)

\(A = 2\)

Kết luận:

Giá trị của biểu thức \(A=a^2+b^2+c^2\) là 2.

Các em thấy đó, bằng cách sử dụng khéo léo các điều kiện đã cho và biến đổi đại số, chúng ta đã tìm ra giá trị của biểu thức. Hãy chú ý các bước biến đổi và lý do tại sao chúng ta thực hiện chúng.

Có em nào có câu hỏi không?