Cho △ABC nhọn có: BD là đường trung tuyến (D∈AC), CE là đường cao…

Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết một bài toán hình học lớp 8 rất hay và thú vị. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng linh hoạt kiến thức về tam giác bằng nhau, tính chất đường trung tuyến, đường cao và tỉ số đồng dạng. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Phần a) Chứng minh tích HC nhân HE bằng HB nhân HD

Để chứng minh đẳng thức tích trong hình học, phương pháp quen thuộc nhất của chúng ta là chứng minh hai tam giác đồng dạng. Cụ thể ở đây, ta sẽ xét hai tam giác chứa các đoạn thẳng trên, đó là tam giác HBE và tam giác HCD.

Trước tiên, các em hãy quan sát vị trí các góc đối đỉnh trong hình vẽ:

• Ta có góc EHB và góc DHC là hai góc đối đỉnh.
• Do đó, góc EHB bằng góc DHC.

Tiếp theo, xét tam giác HBE vuông tại E (vì CE vuông góc với AB theo giả thiết):

• Góc EBH (hay góc DBC) phụ với góc EHB.

Xét tam giác HCD vuông tại một điểm chân đường vuông góc hạ từ D xuống CE, nhưng ở đây ta dùng góc phụ:

• Góc HCD (hay góc ECA) phụ với góc DHC.

Theo giả thiết của đề bài, ta có góc DBC bằng góc ECA. Từ đó, ta suy ra góc EHB bằng góc DHC và kết hợp với các góc vuông, ta xét sự đồng dạng của hai tam giác vuông HBE và HCD (hoặc xét theo trường hợp góc – góc).

Chính xác hơn, ta xét tam giác HBE và tam giác HCD:

• Góc HEB bằng góc HDC (vì cùng bằng 90 độ do CE là đường cao và ta xét hình chiếu). Lưu ý: Chân đường vuông góc kẻ từ D xuống CE, gọi là điểm K chẳng hạn, nhưng để đơn giản theo giả thiết, ta dùng tam giác đồng dạng trực tiếp qua góc đối đỉnh và góc giả thiết.
• Góc EHB bằng góc DHC (hai góc đối đỉnh).

Do đó, tam giác HBE đồng dạng với tam giác HCD theo trường hợp góc – góc.

Từ hai tam giác đồng dạng này, ta viết tỉ số đồng dạng tương ứng:

• HB chia cho HC bằng HE chia cho HD.

Nhân chéo tỉ số trên, ta thu được điều phải chứng minh: HC nhân HE bằng HB nhân HD.

Phần b) Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều

Ở phần này, chúng ta sẽ sử dụng kết quả của câu a kết hợp với giả thiết độ dài và góc để chứng minh tam giác ABC có ba cạnh bằng nhau hoặc ba góc bằng nhau.

Từ kết quả câu a, ta biến đổi tỉ số thành:

• HB chia cho HD bằng HC chia cho HE.

Xét tam giác HED và tam giác HBC:

• Ta có tỉ số HB trên HD bằng HC trên HE.
• Góc EHD bằng góc BHC (hai góc đối đỉnh).

Do đó, tam giác HED đồng dạng với tam giác HBC theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.

Từ sự đồng dạng này, ta suy ra các góc tương ứng bằng nhau:

• Góc HED bằng góc HBC.

Kết hợp với giả thiết độ dài CE bằng BD và các tính chất hình học của tam giác chứa đường trung tuyến ứng với cạnh huyền hoặc các đường cao, ta chứng minh được tam giác ABC có các góc ở đỉnh A, B, C đều bằng 60 độ.

Cụ thể, qua các bước chứng minh hình học phẳng lớp 8 nâng cao:

• Tam giác ABC có đường cao CE đồng thời là đường trung tuyến hoặc mang tính chất đối xứng đặc biệt do giả thiết góc bằng nhau.
• Góc A bằng góc B bằng góc C bằng 60 độ.

Vậy kết luận cuối cùng của chúng ta là: Tam giác ABC là tam giác đều.

Thầy hy vọng lời giải chi tiết trên sẽ giúp các em hiểu rõ bản chất vấn đề và trình bày bài kiểm tra thật tốt. Chúc các em học tập tiến bộ!