Cho ∆ABC và ∆A’B’C’ có trọng tâm là G và G’. CM: (→AA’) + (→BB’) +…

Chào các em học sinh lớp 10 yêu quý! Hôm nay, thầy giáo sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết một bài toán hình học rất hay và quan trọng về trọng tâm của tam giác. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải vẫn dụng linh hoạt quy tắc cộng vectơ và tính chất trọng tâm đã được học.

Phương pháp giải chung: Để chứng minh một đẳng thức vectơ, chúng ta thường chọn một vế (thường là vế phức tạp hơn hoặc vế chứa các điểm ban đầu) rồi sử dụng quy tắc chèn điểm hoặc quy tắc hình bình hành để biến đổi sao cho xuất hiện vế còn lại. Trong bài này, chúng ta sẽ biến đổi vế trái chứa các vectơ xuất phát từ đỉnh để xuất hiện vectơ nối hai trọng tâm ở vế phải.

Bước 1: Nhắc lại kiến thức trọng tâm cần nhớ

• Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M bất kỳ trong mặt phẳng, ta luôn có: Vectơ MA cộng vectơ MB cộng vectơ MC bằng 3 lần vectơ MG.
• Đặc biệt, nếu lấy điểm M trùng với điểm G thì ta có: Vectơ GA cộng vectơ GB cộng vectơ GC bằng vectơ không.
• Tương tự, đối với tam giác A’B’C’ có trọng tâm G’, ta cũng có tính chất: Vectơ G’A’ cộng vectơ G’B’ cộng vectơ G’C’ bằng vectơ không.

Bước 2: Biến đổi vế trái của đẳng thức

Chúng ta xét tổng các vectơ xuất phát từ các đỉnh tương ứng là: Vectơ AA’ cộng vectơ BB’ cộng vectơ CC’.

Để xuất hiện các điểm G và G’, thầy sẽ sử dụng quy tắc chèn điểm G vào giữa mỗi vectơ ở vế trái:

• Vectơ AA’ được phân tích thành: Vectơ AG cộng vectơ GG’ cộng vectơ G’A’
• Vectơ BB’ được phân tích thành: Vectơ BG cộng vectơ GG’ cộng vectơ G’B’
• Vectơ CC’ được phân tích thành: Vectơ CG cộng vectơ GG’ cộng vectơ G’C’

Bước 3: Cộng các vế lại với nhau

Khi cộng ba đẳng thức trên lại, ở vế trái ta sẽ có tổng cần chứng minh. Ở vế phải, chúng ta nhóm các thành phần lại một cách hợp lý như sau:

• Nhóm thứ nhất: Tổng của ba vectơ AG, BG và CG.
• Nhóm thứ hai: Vectơ GG’ cộng vectơ GG’ cộng vectơ GG’ (chính là 3 lần vectơ GG’).
• Nhóm thứ ba: Tổng của ba vectơ G’A’, G’B’ và G’C’.

Bước 4: Rút gọn và kết luận

• Dựa vào tính chất trọng tâm G ở Bước 1, tổng ba vectơ AG, BG và CG chính là vectơ ngược lại của tổng GA, GB, GC nên tổng này bằng vectơ không.
• Tương tự, dựa vào tính chất trọng tâm G’, tổng ba vectơ G’A’, G’B’ và G’C’ cũng bằng vectơ không.
• Như vậy, nhóm thứ nhất và nhóm thứ ba đều triệt tiêu hết, chỉ còn lại nhóm thứ hai.
• Kết quả cuối cùng, vế trái bằng 3 lần vectơ GG’, đúng bằng vế phải cần chứng minh.

Lời khuyên từ giáo viên: Các em hãy tự lấy giấy bút ra vẽ hình minh họa hai tam giác bất kỳ và làm lại từng bước theo hướng dẫn trên. Việc tự tay biến đổi sẽ giúp các em khắc sâu kiến thức và không bao giờ quên quy tắc chèn điểm khi làm toán vectơ lớp 10. Chúc các em học tốt!