Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán bất đẳng thức khá thú vị. Đây là dạng bài thường gặp trong các kỳ thi và đòi hỏi chúng ta phải có tư duy linh hoạt trong việc biến đổi các biểu thức chứa căn bậc hai. Nào, chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Đề bài:

Cho \(a \ge c \ge 0\) và \(b \ge c\). Chứng minh rằng:

\(\sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} \le \sqrt{ab}\)

Phân tích đề bài:

Trước hết, chúng ta hãy nhìn vào các điều kiện đã cho:

• \(a \ge c \ge 0\): Điều này đảm bảo \(c \ge 0\) và \(a-c \ge 0\). Do đó, \(c(a-c)\) là một số không âm, và \(\sqrt{c(a-c)}\) có nghĩa.
• \(b \ge c\): Điều này đảm bảo \(b-c \ge 0\). Do đó, \(c(b-c)\) là một số không âm (vì \(c \ge 0\)), và \(\sqrt{c(b-c)}\) có nghĩa.
• Vì \(a \ge c \ge 0\) và \(b \ge c\), ta cũng suy ra \(a \ge 0\) và \(b \ge 0\). Do đó, \(ab \ge 0\), và \(\sqrt{ab}\) cũng có nghĩa.

Như vậy, tất cả các căn thức trong bất đẳng thức đều được xác định. Đây là một điểm quan trọng để chúng ta có thể thực hiện các phép biến đổi.

Chiến lược giải:

Với các bất đẳng thức chứa căn bậc hai và có dạng tổng ở một vế, một phương pháp phổ biến và hiệu quả là bình phương cả hai vế. Tuy nhiên, chúng ta cần đảm bảo cả hai vế đều không âm trước khi bình phương. Trong trường hợp này, vế trái là tổng của hai căn bậc hai không âm, nên nó không âm. Vế phải là \(\sqrt{ab}\), cũng không âm. Do đó, chúng ta hoàn toàn có thể bình phương cả hai vế mà không làm thay đổi chiều của bất đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

Để chứng minh bất đẳng thức \(\sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} \le \sqrt{ab}\), chúng ta sẽ bình phương cả hai vế. Vì cả hai vế đều không âm, chiều của bất đẳng thức sẽ được giữ nguyên.

Bình phương vế trái, ta được:

\(\left(\sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)}\right)^2\)
\(= \left(\sqrt{c(a-c)}\right)^2 + \left(\sqrt{c(b-c)}\right)^2 + 2\sqrt{c(a-c)}\sqrt{c(b-c)}\)
\(= c(a-c) + c(b-c) + 2\sqrt{c^2(a-c)(b-c)}\)
\(= ca – c^2 + cb – c^2 + 2c\sqrt{(a-c)(b-c)}\) (vì \(c \ge 0\) nên \(\sqrt{c^2} = c\))
\(= c(a+b) – 2c^2 + 2c\sqrt{(a-c)(b-c)}\)

Bình phương vế phải, ta được:

\((\sqrt{ab})^2 = ab\)

Như vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\(c(a+b) – 2c^2 + 2c\sqrt{(a-c)(b-c)} \le ab\)

Bây giờ, chúng ta sẽ chuyển các hạng tử từ vế trái sang vế phải để dồn về một vế và xem xét:

\(2c\sqrt{(a-c)(b-c)} \le ab – c(a+b) + 2c^2\)
\(\Leftrightarrow 2c\sqrt{(a-c)(b-c)} \le ab – ac – bc + 2c^2\)

Hãy để ý vế phải, \(ab – ac – bc + 2c^2\). Chúng ta có thể nhóm các hạng tử để làm xuất hiện một dạng quen thuộc:

\(ab – ac – bc + c^2 + c^2\)
\(= (a-c)(b-c) + c^2\)

Vậy, bất đẳng thức của chúng ta trở thành:

\(2c\sqrt{(a-c)(b-c)} \le (a-c)(b-c) + c^2\)

Đến đây, các em có nhận ra điều gì đặc biệt không? Để dễ hình dung hơn, chúng ta hãy đặt một biến phụ nhé.

Đặt \(X = (a-c)(b-c)\).

Vì \(a \ge c\) và \(b \ge c\), nên \(a-c \ge 0\) và \(b-c \ge 0\). Do đó, \(X \ge 0\). Khi đó, \(\sqrt{X}\) là một số thực không âm.

Bất đẳng thức của chúng ta trở thành:

\(2c\sqrt{X} \le X + c^2\)

Bây giờ, chúng ta chuyển tất cả các hạng tử sang một vế:

\(0 \le X – 2c\sqrt{X} + c^2\)

Các em có thấy điều gì quen thuộc ở vế phải không? Đây chính là hằng đẳng thức đáng nhớ \( (A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2 \)!

Nếu chúng ta coi \(A = \sqrt{X}\) và \(B = c\), thì \(A^2 = (\sqrt{X})^2 = X\), \(B^2 = c^2\), và \(2AB = 2\sqrt{X}c = 2c\sqrt{X}\).

Vậy, bất đẳng thức cuối cùng chính là:

\(0 \le (\sqrt{X} – c)^2\)

Chúng ta biết rằng bình phương của một số thực bất kỳ luôn luôn không âm. Tức là \((\sqrt{X} – c)^2 \ge 0\) luôn đúng với mọi giá trị của \(X\) và \(c\).

Vì bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng, và các bước biến đổi của chúng ta là tương đương (do đều thực hiện với các số không âm), nên bất đẳng thức ban đầu \(\sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} \le \sqrt{ab}\) cũng luôn đúng.

Kết luận:

Vậy, với điều kiện \(a \ge c \ge 0\) và \(b \ge c\), bất đẳng thức \(\sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} \le \sqrt{ab}\) đã được chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi nào?

Dấu bằng xảy ra khi \((\sqrt{X} – c)^2 = 0\), tức là \(\sqrt{X} – c = 0\), hay \(\sqrt{X} = c\).

Thay \(X = (a-c)(b-c)\) trở lại, ta có:

\(\sqrt{(a-c)(b-c)} = c\)

Bình phương hai vế:

\((a-c)(b-c) = c^2\)

\(ab – ac – bc + c^2 = c^2\)

\(ab – ac – bc = 0\)

Hoặc, nếu \(c=0\), thì dấu bằng cũng xảy ra (khi đó \(0=0\)).
Nếu \(c > 0\), ta có thể chia cả hai vế cho \(c\): \(ab/c – a – b = 0\). Hoặc \(ab = c(a+b)\).

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Hãy ghi nhớ phương pháp bình phương và nhận diện các hằng đẳng thức nhé. Chúc các em học tốt!