Chúng ta sẽ phân tích bài toán theo các bước sau đây:

Bước 1: Xác định các biến số

Để giải bài toán này, trước hết chúng ta cần đặt các biến số cho các đại lượng mà chúng ta cần tìm.

Gọi \(x\) là số kilogam thịt bò mà gia đình mua mỗi ngày (đơn vị: kg).

Gọi \(y\) là số kilogam thịt heo mà gia đình mua mỗi ngày (đơn vị: kg).

Bước 2: Xây dựng hàm mục tiêu (chi phí cần tối thiểu)

Gia đình muốn mua thịt với chi phí ít nhất. Chúng ta cần tính tổng chi phí dựa trên lượng thịt bò và thịt heo đã mua.

• Giá thịt bò: 250 nghìn đồng/kg.
• Giá thịt heo: 200 nghìn đồng/kg.

Vậy, hàm mục tiêu (tổng chi phí \(C\)) sẽ là:

\(C = 250x + 200y\)

Chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(C\).

Bước 3: Lập các ràng buộc của bài toán

Đây là phần quan trọng nhất, chúng ta cần chuyển đổi các điều kiện của bài toán thành các bất đẳng thức.

1. Ràng buộc về lượng protein:

• 1 kg thịt bò có 800 đơn vị protein.
• 1 kg thịt heo có 600 đơn vị protein.
• Gia đình cần ít nhất 800 đơn vị protein.

Vậy, bất đẳng thức ràng buộc về protein là:

\(800x + 600y \geq 800\)

Để đơn giản hóa, ta chia cả hai vế cho 200:

\(4x + 3y \geq 4\) (1)

2. Ràng buộc về lượng lipit:

• 1 kg thịt bò có 100 đơn vị lipit.
• 1 kg thịt heo có 200 đơn vị lipit.
• Gia đình cần ít nhất 200 đơn vị lipit.

Vậy, bất đẳng thức ràng buộc về lipit là:

\(100x + 200y \geq 200\)

Để đơn giản hóa, ta chia cả hai vế cho 100:

\(x + 2y \geq 2\) (2)

3. Ràng buộc về số lượng thịt mua tối đa:

• Không mua quá 1 kg thịt bò: \(x \leq 1\) (3)
• Không mua quá 1.5 kg thịt heo: \(y \leq 1.5\) (4)

4. Ràng buộc về tính không âm:

Lượng thịt không thể là số âm, nên:

\(x \geq 0\) (5)

\(y \geq 0\) (6)

Tóm lại, bài toán trở thành: Tìm \(x, y\) để hàm số \(C = 250x + 200y\) đạt giá trị nhỏ nhất, thỏa mãn các điều kiện:

\(\begin{cases} 4x + 3y \geq 4 \\ x + 2y \geq 2 \\ 0 \leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq 1.5 \end{cases}\)

Bước 4: Xác định miền nghiệm (miền ràng buộc)

Chúng ta sẽ biểu diễn các bất đẳng thức trên hệ trục tọa độ \(Oxy\). Miền nghiệm là giao của các nửa mặt phẳng được xác định bởi các bất đẳng thức trên.

Các đường thẳng biên giới là:

• \(d_1: 4x + 3y = 4\). (Đi qua các điểm \((1, 0)\) và \((0, 4/3 \approx 1.33)\))
• \(d_2: x + 2y = 2\). (Đi qua các điểm \((2, 0)\) và \((0, 1)\))
• \(d_3: x = 1\). (Đường thẳng đứng)
• \(d_4: y = 1.5\). (Đường thẳng ngang)
• \(d_5: x = 0\). (Trục tung)
• \(d_6: y = 0\). (Trục hoành)

Miền nghiệm là tập hợp các điểm \((x, y)\) thỏa mãn tất cả các bất đẳng thức.

• \(4x + 3y \geq 4\): Miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ (nếu thay \((0,0)\) vào, ta có \(0 \geq 4\), sai).
• \(x + 2y \geq 2\): Miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ (nếu thay \((0,0)\) vào, ta có \(0 \geq 2\), sai).
• \(0 \leq x \leq 1\): Miền nằm giữa đường thẳng \(x=0\) và \(x=1\).
• \(0 \leq y \leq 1.5\): Miền nằm giữa đường thẳng \(y=0\) và \(y=1.5\).

Vẽ hình các đường thẳng này và xác định giao của các miền. Chúng ta sẽ thu được một đa giác lồi. Các đỉnh của đa giác này là các điểm cực trị tiềm năng của hàm mục tiêu.

Bước 5: Xác định các đỉnh của miền nghiệm

Các đỉnh của miền nghiệm, sau khi vẽ hình và kiểm tra, sẽ là các điểm sau (lưu ý rằng chỉ những điểm nằm trong miền ràng buộc mới được xét):

1. Giao của \(x=0\) và \(y=1.5\): Điểm \(A(0, 1.5)\)

2. Giao của \(x=0\) và \(4x+3y=4\): Thay \(x=0\) vào \(4x+3y=4 \implies 3y=4 \implies y=4/3\). Điểm \(B(0, 4/3)\)

3. Giao của \(4x+3y=4\) và \(x+2y=2\):
Từ \(x+2y=2 \implies x=2-2y\).
Thay vào \(4x+3y=4 \implies 4(2-2y) + 3y = 4 \implies 8 – 8y + 3y = 4 \implies 8 – 5y = 4 \implies 5y = 4 \implies y = 4/5 = 0.8\).
Thay \(y=0.8\) vào \(x=2-2y \implies x=2-2(0.8) = 2-1.6 = 0.4\).
Điểm \(C(0.4, 0.8)\)

4. Giao của \(x+2y=2\) và \(x=1\): Thay \(x=1\) vào \(x+2y=2 \implies 1+2y=2 \implies 2y=1 \implies y=0.5\). Điểm \(D(1, 0.5)\)

5. Giao của \(x=1\) và \(y=1.5\): Điểm \(E(1, 1.5)\)

Bước 6: Tính giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh

Chúng ta sẽ thay tọa độ của từng đỉnh vào hàm mục tiêu \(C = 250x + 200y\) để tìm chi phí tương ứng.

• Tại \(A(0, 1.5)\): \(C = 250(0) + 200(1.5) = 0 + 300 = 300\) (nghìn đồng)
• Tại \(B(0, 4/3)\): \(C = 250(0) + 200(4/3) = 0 + 800/3 \approx 266.67\) (nghìn đồng)
• Tại \(C(0.4, 0.8)\): \(C = 250(0.4) + 200(0.8) = 100 + 160 = 260\) (nghìn đồng)
• Tại \(D(1, 0.5)\): \(C = 250(1) + 200(0.5) = 250 + 100 = 350\) (nghìn đồng)
• Tại \(E(1, 1.5)\): \(C = 250(1) + 200(1.5) = 250 + 300 = 550\) (nghìn đồng)

Bước 7: Kết luận

So sánh các giá trị chi phí vừa tính được, ta thấy giá trị nhỏ nhất là \(260\) nghìn đồng, đạt được tại điểm \(C(0.4, 0.8)\).

Điều này có nghĩa là để chi phí là ít nhất, gia đình cần mua:

• 0.4 kg thịt bò
• 0.8 kg thịt heo

Khi đó, tổng chi phí sẽ là 260 nghìn đồng.

Vậy là chúng ta đã tìm ra lời giải cho bài toán này rồi. Qua bài toán này, các em thấy toán học, đặc biệt là lập trình tuyến tính, rất hữu ích trong việc giải quyết các vấn đề thực tế, giúp chúng ta đưa ra những quyết định tối ưu phải không nào?

Chúc các em học tốt!