Chào các em học sinh lớp 9 thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về biểu thức chứa căn bậc hai. Đây là dạng bài rất quan trọng, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các kiến thức về điều kiện xác định, rút gọn biểu thức và giải bất phương trình. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Đề bài cho biểu thức M như sau:

M = \(\frac{x+2√x}{√x+2}\) + \(\frac{x-4}{√x-2}\)

—

1. Tìm điều kiện của x để biểu thức M xác định

Để biểu thức M xác định, chúng ta cần đảm bảo các điều kiện sau:

a) Các biểu thức dưới dấu căn phải không âm:

Trong biểu thức M, chúng ta thấy có \(\sqrt{x}\). Do đó, điều kiện đầu tiên là:

\(\qquad x \ge 0\)

b) Các mẫu số phải khác 0:

Chúng ta có hai mẫu số trong biểu thức M:

– Mẫu số thứ nhất: \(\sqrt{x}+2\)

Vì \(\sqrt{x} \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\), nên \(\sqrt{x}+2 \ge 2\).

Do đó, \(\sqrt{x}+2\) luôn khác 0 với mọi \(x \ge 0\). Điều kiện này luôn đúng.

– Mẫu số thứ hai: \(\sqrt{x}-2\)

Để mẫu số này khác 0, ta phải có:

\(\qquad \sqrt{x}-2 \ne 0\)

\(\qquad \sqrt{x} \ne 2\)

Bình phương hai vế (vì cả hai vế đều không âm), ta được:

\(\qquad x \ne 2^2\)

\(\qquad x \ne 4\)

Kết hợp tất cả các điều kiện trên, ta có điều kiện xác định của biểu thức M là:

\(\qquad \mathbf{x \ge 0}\) và \(\mathbf{x \ne 4}\)

—

2. Rút gọn M

Với điều kiện \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\), chúng ta tiến hành rút gọn M.

M = \(\frac{x+2√x}{√x+2}\) + \(\frac{x-4}{√x-2}\)

Xét từng phân thức:

Phân thức thứ nhất: \(\frac{x+2√x}{√x+2}\)

Chúng ta nhận thấy tử số có thể đặt nhân tử chung là \(\sqrt{x}\):

\(x+2√x = √x \cdot √x + 2√x = √x(√x+2)\)

Vậy, phân thức thứ nhất trở thành:

\(\frac{√x(√x+2)}{√x+2}\)

Do \(\sqrt{x}+2 \ne 0\) (theo điều kiện xác định), chúng ta có thể rút gọn \(\sqrt{x}+2\) ở cả tử và mẫu:

\(\frac{√x(√x+2)}{√x+2} = √x\)

Phân thức thứ hai: \(\frac{x-4}{√x-2}\)

Chúng ta nhận thấy tử số có dạng hiệu hai bình phương: \(x-4 = (√x)^2 – 2^2\)

Áp dụng hằng đẳng thức \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\), ta có:

\(x-4 = (√x-2)(√x+2)\)

Vậy, phân thức thứ hai trở thành:

\(\frac{(√x-2)(√x+2)}{√x-2}\)

Do \(\sqrt{x}-2 \ne 0\) (theo điều kiện xác định), chúng ta có thể rút gọn \(\sqrt{x}-2\) ở cả tử và mẫu:

\(\frac{(√x-2)(√x+2)}{√x-2} = √x+2\)

Bây giờ, chúng ta cộng hai phần đã rút gọn lại:

\(M = √x + (√x+2)\)

\(M = √x + √x + 2\)

\(\mathbf{M = 2√x + 2}\)

—

3. Tìm điều kiện của x để M > 4

Chúng ta sử dụng biểu thức M đã được rút gọn: \(M = 2√x + 2\).

Yêu cầu đề bài là \(M > 4\), nên ta có bất phương trình:

\(2√x + 2 > 4\)

Giải bất phương trình này:

Chuyển số 2 sang vế phải:

\(2√x > 4 – 2\)

\(2√x > 2\)

Chia cả hai vế cho 2 (số dương, không đổi chiều bất phương trình):

\(√x > \frac{2}{2}\)

\(√x > 1\)

Bình phương cả hai vế (vì cả hai vế đều dương nên không đổi chiều bất phương trình):

\((√x)^2 > 1^2\)

\(x > 1\)

Cuối cùng, chúng ta cần kết hợp điều kiện này với điều kiện xác định của biểu thức M (\(x \ge 0\) và \(x \ne 4\)).

Điều kiện tìm được là \(x > 1\). Điều kiện này đã bao hàm \(x \ge 0\).

Tuy nhiên, chúng ta cần loại bỏ trường hợp \(x=4\).

Vì \(x=4\) thỏa mãn \(x>1\), nên ta phải loại giá trị \(x=4\) ra khỏi tập nghiệm.

Vậy, điều kiện của x để M > 4 là: \(\mathbf{x > 1}\) và \(\mathbf{x \ne 4}\).

—

Hy vọng phần trình bày chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ cách giải bài toán. Hãy luyện tập thêm để nắm vững kiến thức này nhé!