Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán số học khá thú vị và đòi hỏi tư duy logic cao. Chúng ta cùng nhau phân tích từng bước nhé!

Đề bài: Cho các số nguyên \(a, b\) thỏa mãn \(7(a + b)^2 + 2ab\) chia hết cho 225. Chứng minh rằng \(ab\) chia hết cho 225.

Phân tích bài toán:

Điều kiện đã cho là \(7(a + b)^2 + 2ab\) chia hết cho 225. Chúng ta cần chứng minh \(ab\) chia hết cho 225.

Đầu tiên, hãy phân tích số 225:

\(225 = 3^2 \times 5^2 = 9 \times 25\).

Để chứng minh \(ab\) chia hết cho 225, chúng ta cần chứng minh \(ab\) chia hết cho 9 và \(ab\) chia hết cho 25. Vì 9 và 25 là hai số nguyên tố cùng nhau, nếu \(ab\) chia hết cho cả hai số này, thì \(ab\) sẽ chia hết cho tích của chúng là 225.

Bước 1: Rút gọn biểu thức đã cho.

Ta có biểu thức: \(E = 7(a + b)^2 + 2ab\)

Khai triển \((a + b)^2\):

\(E = 7(a^2 + 2ab + b^2) + 2ab\)

\(E = 7a^2 + 14ab + 7b^2 + 2ab\)

\(E = 7a^2 + 16ab + 7b^2\)

Theo đề bài, \(E\) chia hết cho 225, tức là \(7a^2 + 16ab + 7b^2 \equiv 0 \pmod{225}\).

Bước 2: Chứng minh \(ab\) chia hết cho 9.

Vì \(E\) chia hết cho 225, nên \(E\) cũng chia hết cho 9.

\(7a^2 + 16ab + 7b^2 \equiv 0 \pmod{9}\)

Ta thay các hệ số bằng số dư khi chia cho 9:

• \(7 \equiv -2 \pmod{9}\)
• \(16 \equiv 7 \pmod{9}\)

Vậy, biểu thức trở thành:

\(-2a^2 + 7ab – 2b^2 \equiv 0 \pmod{9}\)

Nhân cả hai vế với \(-1\) (hoặc 8, vì \(8 \equiv -1 \pmod{9}\)):

\(2a^2 – 7ab + 2b^2 \equiv 0 \pmod{9}\)

Để tiện cho việc biến đổi, ta có thể viết \(-7 \equiv 2 \pmod{9}\):

\(2a^2 + 2ab + 2b^2 \equiv 0 \pmod{9}\)

Nhân cả hai vế với 5 (vì \(2 \times 5 = 10 \equiv 1 \pmod{9}\) – 5 là nghịch đảo của 2 theo mod 9):

\(a^2 + ab + b^2 \equiv 0 \pmod{9}\)       (1)

Bây giờ, chúng ta sẽ xét các trường hợp của \(a\) và \(b\) khi chia cho 3 (ước của 9):

• Trường hợp 1: Một trong hai số \(a\) hoặc \(b\) chia hết cho 3.

Giả sử \(a \equiv 0 \pmod{3}\). Từ (1):

\(0^2 + 0 \cdot b + b^2 \equiv 0 \pmod{3}\) (ta xét modulo 3 trước)

\(b^2 \equiv 0 \pmod{3}\)

Điều này chỉ xảy ra khi \(b \equiv 0 \pmod{3}\).
Vậy, nếu \(a\) chia hết cho 3, thì \(b\) cũng chia hết cho 3.

Lúc này, ta có \(a = 3k\) và \(b = 3m\) với \(k, m\) là các số nguyên.
Khi đó, \(ab = (3k)(3m) = 9km\).

Do đó, \(ab\) chia hết cho 9. Trường hợp này chứng minh xong.

• Trường hợp 2: Cả \(a\) và \(b\) đều không chia hết cho 3.

Nếu \(a \not\equiv 0 \pmod{3}\) và \(b \not\equiv 0 \pmod{3}\), thì \(a^2 \equiv 1 \pmod{3}\) và \(b^2 \equiv 1 \pmod{3}\).

Từ (1), xét modulo 3:

\(a^2 + ab + b^2 \equiv 0 \pmod{3}\)

\(1 + ab + 1 \equiv 0 \pmod{3}\)

\(ab + 2 \equiv 0 \pmod{3}\)

\(ab \equiv -2 \equiv 1 \pmod{3}\).

Điều này có nghĩa là \(ab\) không chia hết cho 3.

Mặt khác, nếu \(ab \equiv 1 \pmod{3}\), thì \(a\) và \(b\) phải cùng số dư 1 hoặc cùng số dư 2 khi chia cho 3 (ví dụ: \(1 \times 1 = 1\), \(2 \times 2 = 4 \equiv 1\)). Hay nói cách khác, \(a \equiv b \pmod{3}\).

Xét lại biểu thức \(a^2 + ab + b^2 \equiv 0 \pmod{9}\).

Nếu \(a \equiv 1 \pmod{3}\) và \(b \equiv 1 \pmod{3}\):

Đặt \(a = 3k+1\), \(b = 3j+1\).

\(a^2 = (3k+1)^2 = 9k^2+6k+1 \equiv 6k+1 \pmod{9}\).

\(b^2 = (3j+1)^2 = 9j^2+6j+1 \equiv 6j+1 \pmod{9}\).

\(ab = (3k+1)(3j+1) = 9kj+3k+3j+1 \equiv 3(k+j)+1 \pmod{9}\).

Thay vào (1):

\((6k+1) + (3(k+j)+1) + (6j+1) \equiv 0 \pmod{9}\)

\(6k+1 + 3k+3j+1 + 6j+1 \equiv 0 \pmod{9}\)

\(9k + 9j + 3 \equiv 0 \pmod{9}\)

\(3 \equiv 0 \pmod{9}\).

Đây là một điều vô lý.

Nếu \(a \equiv 2 \pmod{3}\) và \(b \equiv 2 \pmod{3}\):

Đặt \(a = 3k+2\), \(b = 3j+2\).

\(a^2 = (3k+2)^2 = 9k^2+12k+4 \equiv 3k+4 \pmod{9}\) (vì \(12k \equiv 3k \pmod{9}\)).

\(b^2 = (3j+2)^2 = 9j^2+12j+4 \equiv 3j+4 \pmod{9}\).

\(ab = (3k+2)(3j+2) = 9kj+6k+6j+4 \equiv 6(k+j)+4 \pmod{9}\).

Thay vào (1):

\((3k+4) + (6(k+j)+4) + (3j+4) \equiv 0 \pmod{9}\)

\(3k+4 + 6k+6j+4 + 3j+4 \equiv 0 \pmod{9}\)

\(9k + 9j + 12 \equiv 0 \pmod{9}\)

\(12 \equiv 0 \pmod{9}\)

\(3 \equiv 0 \pmod{9}\).

Đây cũng là một điều vô lý.

Từ hai trường hợp trên, ta kết luận rằng giả định “cả \(a\) và \(b\) đều không chia hết cho 3” là sai. Do đó, phải có ít nhất một trong hai số \(a\) hoặc \(b\) chia hết cho 3. Theo Trường hợp 1 đã xét, điều này kéo theo cả \(a\) và \(b\) đều phải chia hết cho 3.

Khi cả \(a\) và \(b\) đều chia hết cho 3, thì \(a=3k\) và \(b=3m\), suy ra \(ab=9km\). Vậy \(ab\) chia hết cho 9.

Bước 3: Chứng minh \(ab\) chia hết cho 25.

Vì \(E\) chia hết cho 225, nên \(E\) cũng chia hết cho 25.

\(7a^2 + 16ab + 7b^2 \equiv 0 \pmod{25}\).

Ta có một biến đổi khác của biểu thức \(E\):

\(E = 7(a+b)^2 + 2ab\).

Ngoài ra, ta có \(7(a-b)^2 = 7(a^2 – 2ab + b^2) = 7a^2 – 14ab + 7b^2\).

Để đưa về dạng của \(E\), ta cộng thêm \(30ab\):

\(7(a-b)^2 + 30ab = 7a^2 – 14ab + 7b^2 + 30ab = 7a^2 + 16ab + 7b^2 = E\).

Vậy, \(E = 7(a-b)^2 + 30ab\).

Vì \(E \equiv 0 \pmod{25}\), nên:

\(7(a-b)^2 + 30ab \equiv 0 \pmod{25}\)

Ta có \(30 \equiv 5 \pmod{25}\).

\(7(a-b)^2 + 5ab \equiv 0 \pmod{25}\)       (2)

Bây giờ, chúng ta sẽ xét các trường hợp của \(a\) và \(b\) khi chia cho 5 (ước của 25):

• Trường hợp 1: Một trong hai số \(a\) hoặc \(b\) chia hết cho 5.

Giả sử \(a \equiv 0 \pmod{5}\). Từ biểu thức ban đầu \(7(a + b)^2 + 2ab \equiv 0 \pmod{25}\):

\(7(0 + b)^2 + 2(0)b \equiv 0 \pmod{25}\)

\(7b^2 \equiv 0 \pmod{25}\).

Vì 7 và 25 là nguyên tố cùng nhau, nên \(b^2 \equiv 0 \pmod{25}\).
Điều này có nghĩa là \(b\) phải chia hết cho 5.

Vậy, nếu \(a\) chia hết cho 5, thì \(b\) cũng chia hết cho 5.
Lúc này, ta có \(a = 5k\) và \(b = 5m\) với \(k, m\) là các số nguyên.
Khi đó, \(ab = (5k)(5m) = 25km\).

Do đó, \(ab\) chia hết cho 25. Trường hợp này chứng minh xong.

• Trường hợp 2: Cả \(a\) và \(b\) đều không chia hết cho 5.

Nếu \(a \not\equiv 0 \pmod{5}\) và \(b \not\equiv 0 \pmod{5}\).

Từ (2): \(7(a-b)^2 + 5ab \equiv 0 \pmod{25}\).

Điều này có nghĩa là \(7(a-b)^2 + 5ab\) là bội của 25.
Do đó, \(7(a-b)^2 + 5ab\) cũng là bội của 5.

\(7(a-b)^2 + 5ab \equiv 0 \pmod{5}\)

Vì \(5ab \equiv 0 \pmod{5}\), ta suy ra:

\(7(a-b)^2 \equiv 0 \pmod{5}\).

Vì 7 và 5 là nguyên tố cùng nhau, nên \((a-b)^2 \equiv 0 \pmod{5}\).
Điều này chỉ xảy ra khi \(a-b \equiv 0 \pmod{5}\), hay \(a \equiv b \pmod{5}\).

Bây giờ, ta thay \(a \equiv b \pmod{5}\) vào biểu thức ban đầu \(7(a+b)^2 + 2ab \equiv 0 \pmod{25}\).

Đặt \(b = a + 5k\) (vì \(a \equiv b \pmod{5}\)).

\(7(a + (a+5k))^2 + 2a(a+5k) \equiv 0 \pmod{25}\)

\(7(2a + 5k)^2 + 2a^2 + 10ak \equiv 0 \pmod{25}\)

Khai triển \((2a + 5k)^2\):

\(7(4a^2 + 20ak + 25k^2) + 2a^2 + 10ak \equiv 0 \pmod{25}\)

Vì \(25k^2 \equiv 0 \pmod{25}\):

\(7(4a^2 + 20ak) + 2a^2 + 10ak \equiv 0 \pmod{25}\)

\(28a^2 + 140ak + 2a^2 + 10ak \equiv 0 \pmod{25}\)

\(30a^2 + 150ak \equiv 0 \pmod{25}\)

Ta thay các hệ số bằng số dư khi chia cho 25:

• \(30 \equiv 5 \pmod{25}\)
• \(150 = 6 \times 25 \equiv 0 \pmod{25}\)

Vậy, biểu thức trở thành:

\(5a^2 + 0ak \equiv 0 \pmod{25}\)

\(5a^2 \equiv 0 \pmod{25}\).

Điều này có nghĩa là \(5a^2\) là bội của 25. Chia cả hai vế cho 5:

\(a^2 \equiv 0 \pmod{5}\).

Vì 5 là số nguyên tố, nếu \(a^2\) chia hết cho 5 thì \(a\) phải chia hết cho 5.

Điều này mâu thuẫn với giả định ban đầu của chúng ta là \(a \not\equiv 0 \pmod{5}\).

Từ hai trường hợp trên, ta kết luận rằng giả định “cả \(a\) và \(b\) đều không chia hết cho 5” là sai. Do đó, phải có ít nhất một trong hai số \(a\) hoặc \(b\) chia hết cho 5. Theo Trường hợp 1 đã xét, điều này kéo theo cả \(a\) và \(b\) đều phải chia hết cho 5.

Khi cả \(a\) và \(b\) đều chia hết cho 5, thì \(a=5k\) và \(b=5m\), suy ra \(ab=25km\). Vậy \(ab\) chia hết cho 25.

Bước 4: Kết luận.

Chúng ta đã chứng minh được rằng:

• \(ab\) chia hết cho 9.
• \(ab\) chia hết cho 25.

Vì 9 và 25 là hai số nguyên tố cùng nhau (\(\text{ƯCLN}(9, 25) = 1\)), nên nếu \(ab\) chia hết cho cả 9 và 25, thì \(ab\) phải chia hết cho tích của chúng.

\(9 \times 25 = 225\).

Vậy, \(ab\) chia hết cho 225.

Điều phải chứng minh.

Các em thấy không, một bài toán thoạt nhìn có vẻ phức tạp nhưng nếu chúng ta biết cách phân tích số chia và xét các trường hợp một cách cẩn thận, bài toán sẽ trở nên rõ ràng hơn rất nhiều. Chúc các em học tốt môn Toán nhé!