Chào các em học sinh lớp 7! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán khá thú vị về số nguyên tố. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm ba số nguyên tố phân biệt \(p, q, r\) thỏa mãn phương trình:

3p⁴ – 5q⁴ – 4r² = 26

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của số nguyên tố và phương pháp thử chọn hợp lý.

Bước 1: Phân tích phương trình và xem xét tính chẵn lẻ.

Chúng ta có phương trình: \(3p^4 – 5q^4 – 4r^2 = 26\)

Quan sát các số hạng trong phương trình:

• \(4r^2\) luôn là một số chẵn vì nó chia hết cho 4.
• \(26\) là một số chẵn.

Do đó, \(3p^4 – 5q^4\) phải là một số chẵn để hiệu với một số chẵn (\(4r^2\)) cho ra một số chẵn (\(26\)).

Xét tính chẵn lẻ của \(3p^4 – 5q^4\):

• Nếu \(p\) là số nguyên tố chẵn, thì \(p=2\). Khi đó, \(p^4 = 2^4 = 16\).
• Nếu \(p\) là số nguyên tố lẻ, thì \(p^4\) là số lẻ.
• Nếu \(q\) là số nguyên tố chẵn, thì \(q=2\). Khi đó, \(q^4 = 2^4 = 16\).
• Nếu \(q\) là số nguyên tố lẻ, thì \(q^4\) là số lẻ.

Bây giờ, chúng ta xét các trường hợp cho \(p\) và \(q\):

Trường hợp 1: \(p\) là lẻ, \(q\) là lẻ.

\(3p^4\) là lẻ (lẻ x lẻ = lẻ).

\(5q^4\) là lẻ (lẻ x lẻ = lẻ).

Khi đó, \(3p^4 – 5q^4\) sẽ là lẻ – lẻ = chẵn.

Trường hợp này có thể xảy ra.

Trường hợp 2: \(p=2\), \(q\) là lẻ.

\(3p^4 = 3 \times 16 = 48\) (chẵn).

\(5q^4\) là lẻ.

Khi đó, \(3p^4 – 5q^4\) sẽ là chẵn – lẻ = lẻ.

Trường hợp này không thể xảy ra vì \(3p^4 – 5q^4\) phải là chẵn.

Trường hợp 3: \(p\) là lẻ, \(q=2\).

\(3p^4\) là lẻ.

\(5q^4 = 5 \times 16 = 80\) (chẵn).

Khi đó, \(3p^4 – 5q^4\) sẽ là lẻ – chẵn = lẻ.

Trường hợp này không thể xảy ra.

Trường hợp 4: \(p=2\), \(q=2\).

Tuy nhiên, đề bài cho biết \(p\) và \(q\) là các số nguyên tố phân biệt, nên trường hợp này bị loại.

Vậy, từ phân tích tính chẵn lẻ, chúng ta suy ra rằng cả \(p\) và \(q\) đều phải là các số nguyên tố lẻ. Điều này có nghĩa là \(p \neq 2\) và \(q \neq 2\).

Bước 2: Xét giá trị nhỏ nhất của các số nguyên tố lẻ.

Các số nguyên tố lẻ nhỏ nhất là 3, 5, 7, …

Vì \(p\) và \(q\) là các số nguyên tố phân biệt, chúng ta sẽ xem xét các khả năng.

Chúng ta có \(3p^4 – 5q^4 – 4r^2 = 26\).

Viết lại thành: \(3p^4 – 5q^4 = 26 + 4r^2\).

Do \(r^2 \geq 0\) (vì \(r\) là số nguyên tố, nên \(r \geq 2\)), vế phải \(26 + 4r^2\) luôn dương.

Do đó, \(3p^4 – 5q^4 > 0\), hay \(3p^4 > 5q^4\).

Bây giờ, chúng ta thử các giá trị nhỏ nhất cho \(p\) và \(q\) là các số nguyên tố lẻ.

Khả năng 2.1: \(p=3\).

Khi đó, \(3p^4 = 3 \times 3^4 = 3 \times 81 = 243\).

Phương trình trở thành: \(243 – 5q^4 – 4r^2 = 26\)

Hay: \(5q^4 + 4r^2 = 243 – 26 = 217\).

Ta cần tìm số nguyên tố lẻ \(q\) (phân biệt với \(p=3\)) và số nguyên tố \(r\) (phân biệt với \(p, q\)) thỏa mãn \(5q^4 + 4r^2 = 217\).

Vì \(q\) là số nguyên tố lẻ và \(q \neq 3\), các giá trị có thể của \(q\) là 5, 7, …

• Nếu \(q=5\): \(5q^4 = 5 \times 5^4 = 5 \times 625 = 3125\). Rõ ràng \(3125 > 217\), nên \(q\) không thể bằng 5 hoặc lớn hơn 5.

Do đó, \(p\) không thể bằng 3.

Khả năng 2.2: \(q=3\).

Khi đó, \(5q^4 = 5 \times 3^4 = 5 \times 81 = 405\).

Phương trình trở thành: \(3p^4 – 405 – 4r^2 = 26\)

Hay: \(3p^4 – 4r^2 = 26 + 405 = 431\).

Ta cần tìm số nguyên tố lẻ \(p\) (phân biệt với \(q=3\)) và số nguyên tố \(r\) (phân biệt với \(p, q\)) thỏa mãn \(3p^4 – 4r^2 = 431\).

Ta có \(3p^4 = 431 + 4r^2\).

Vì \(r\) là số nguyên tố, \(r \geq 2\).

Nếu \(r=2\), \(4r^2 = 4 \times 4 = 16\). \(3p^4 = 431 + 16 = 447\). \(p^4 = 447 / 3 = 149\). 149 không phải là lũy thừa bậc 4 của bất kỳ số nguyên nào, nên \(r \neq 2\).

Nếu \(r=3\), \(4r^2 = 4 \times 9 = 36\). \(3p^4 = 431 + 36 = 467\). 467 không chia hết cho 3, nên \(r \neq 3\).

Nếu \(r=5\), \(4r^2 = 4 \times 25 = 100\). \(3p^4 = 431 + 100 = 531\). \(p^4 = 531 / 3 = 177\). 177 không phải là lũy thừa bậc 4 của bất kỳ số nguyên nào.

Nếu \(r=7\), \(4r^2 = 4 \times 49 = 196\). \(3p^4 = 431 + 196 = 627\). \(p^4 = 627 / 3 = 209\). 209 không phải là lũy thừa bậc 4 của bất kỳ số nguyên nào.

Ta có \(3p^4 > 431\). \(p^4 > 431/3 \approx 143.6\).

Số nguyên tố \(p\) lẻ, \(p \neq 3\).

Nếu \(p=5\), \(p^4 = 625\). \(3p^4 = 3 \times 625 = 1875\).
\(1875 – 4r^2 = 431\). \(4r^2 = 1875 – 431 = 1444\). \(r^2 = 1444 / 4 = 361\).
\(r = \sqrt{361} = 19\).
\(r=19\) là một số nguyên tố.
Ta kiểm tra: \(p=5\), \(q=3\), \(r=19\). Các số này phân biệt và đều là số nguyên tố.
Thay vào phương trình ban đầu:
\(3(5^4) – 5(3^4) – 4(19^2)\)
\(= 3(625) – 5(81) – 4(361)\)
\(= 1875 – 405 – 1444\)
\(= 1470 – 1444 = 26\).
Phương trình được thỏa mãn.

Vậy, một bộ nghiệm tìm được là \(p=5, q=3, r=19\).

Bước 3: Kiểm tra các khả năng khác (để đảm bảo tính duy nhất của nghiệm).

Chúng ta đã có \(3p^4 > 5q^4\). Và cả \(p, q\) đều là số nguyên tố lẻ.

Xét trường hợp \(p \geq 5\) và \(q \geq 3\).

Nếu \(q=3\), chúng ta đã tìm thấy \(p=5, r=19\).

Nếu \(q \geq 5\):

Khi đó \(q^4 \geq 5^4 = 625\). \(5q^4 \geq 5 \times 625 = 3125\).

Và \(p\) cũng là số nguyên tố lẻ, \(p \neq q\).
Nếu \(p=3\), chúng ta đã loại ở Khả năng 2.1.

Nếu \(p \geq 5\), và \(q \geq 5\), \(p \neq q\).

Giả sử \(p > q\).
Nếu \(q=5\), \(5q^4 = 3125\).
\(3p^4 – 3125 – 4r^2 = 26\).
\(3p^4 = 3151 + 4r^2\).
\(3p^4 > 3151\). \(p^4 > 3151/3 \approx 1050.3\).
Số nguyên tố \(p\) lớn hơn 5.
Nếu \(p=7\), \(p^4 = 7^4 = 2401\). \(3p^4 = 7203\).
\(7203 = 3151 + 4r^2\).
\(4r^2 = 7203 – 3151 = 4052\).
\(r^2 = 4052 / 4 = 1013\). 1013 không phải là số chính phương.

Nếu \(p < q\): Giả sử \(q > p\).
Nếu \(p=3\), chúng ta đã loại.

Trở lại phương trình: \(3p^4 – 5q^4 – 4r^2 = 26\).

Ta có \(3p^4 = 26 + 5q^4 + 4r^2\).

Vế phải luôn dương.

Xét \(p=5\).
\(3 \times 5^4 – 5q^4 – 4r^2 = 26\)
\(3 \times 625 – 5q^4 – 4r^2 = 26\)
\(1875 – 5q^4 – 4r^2 = 26\)
\(5q^4 + 4r^2 = 1875 – 26 = 1849\).

Ta cần tìm số nguyên tố lẻ \(q\) (\(q \neq 5\)) và số nguyên tố \(r\) (\(r \neq 5\)) thỏa mãn \(5q^4 + 4r^2 = 1849\).

• Nếu \(q=3\): \(5 \times 3^4 + 4r^2 = 1849\). \(5 \times 81 + 4r^2 = 1849\). \(405 + 4r^2 = 1849\). \(4r^2 = 1849 – 405 = 1444\). \(r^2 = 1444 / 4 = 361\). \(r = 19\).
  Ta có bộ \(p=5, q=3, r=19\). Các số nguyên tố phân biệt. Thỏa mãn.

• Nếu \(q=7\): \(5 \times 7^4 + 4r^2 = 1849\). \(5 \times 2401 + 4r^2 = 1849\). \(12005 + 4r^2 = 1849\). Vế trái dương lớn hơn vế phải, nên \(q\) không thể bằng 7 hoặc lớn hơn.

Xét \(p \geq 7\).
\(3p^4 \geq 3 \times 7^4 = 3 \times 2401 = 7203\).

Ta có \(3p^4 = 26 + 5q^4 + 4r^2\).

Nếu \(q=3\), \(p \geq 7\):
\(3p^4 = 26 + 5(3^4) + 4r^2 = 26 + 5(81) + 4r^2 = 26 + 405 + 4r^2 = 431 + 4r^2\).

Nếu \(p=7\), \(3 \times 7^4 = 7203\). \(7203 = 431 + 4r^2\). \(4r^2 = 7203 – 431 = 6772\). \(r^2 = 6772 / 4 = 1693\). 1693 không phải số chính phương.

Nếu \(q \geq 5\).
\(3p^4 = 26 + 5q^4 + 4r^2 \geq 26 + 5(5^4) + 4(2^2) = 26 + 3125 + 16 = 3167\).

\(p^4 \geq 3167/3 \approx 1055.6\).
Số nguyên tố \(p \geq 7\).
Nếu \(p=7\), \(3 \times 7^4 = 7203\).
\(7203 = 26 + 5q^4 + 4r^2\).
\(5q^4 + 4r^2 = 7203 – 26 = 7177\).

Ta cần tìm số nguyên tố lẻ \(q\) (\(q \neq 7\)) và số nguyên tố \(r\) (\(r \neq 7\)) thỏa mãn \(5q^4 + 4r^2 = 7177\).

• Nếu \(q=3\): \(5(3^4) + 4r^2 = 7177\). \(405 + 4r^2 = 7177\). \(4r^2 = 7177 – 405 = 6772\). \(r^2 = 1693\). Không có nghiệm.

• Nếu \(q=5\): \(5(5^4) + 4r^2 = 7177\). \(5(625) + 4r^2 = 7177\). \(3125 + 4r^2 = 7177\). \(4r^2 = 7177 – 3125 = 4052\). \(r^2 = 1013\). Không có nghiệm.

• Nếu \(q=11\): \(5(11^4) = 5 \times 14641 = 73205\). Lớn hơn 7177, nên \(q\) không thể bằng 11 hoặc lớn hơn.

Như vậy, dựa trên các phân tích và thử nghiệm, chúng ta tin rằng chỉ có một bộ ba số nguyên tố phân biệt thỏa mãn phương trình.

Kết luận:

Sau khi phân tích tính chẵn lẻ và thử các giá trị nhỏ nhất cho các số nguyên tố \(p, q, r\), chúng ta tìm được bộ ba số nguyên tố phân biệt thỏa mãn phương trình là:

\(p=5\), \(q=3\), \(r=19\)

Các em về nhà làm lại bài này để nắm vững cách giải nhé!