Chào các em học sinh lớp 10!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về tập hợp có chứa tham số. Đây là dạng bài khá hay, đòi hỏi các em phải nắm vững định nghĩa tập hợp, phép toán trên tập hợp và cách biện luận các trường hợp xảy ra.

Đề bài: Cho các tập hợp

\(A={x\) ∈ Q\(:(x-1)(3x-2)(x+\)\(\sqrt{2}\)\()=0}\)

và

\(B={x\) ∈ R\(:(2+x)(3x-m^2+4)=0}.\)

Tích các giá trị của tham số \(m\) để n(A ∪ B)\(=3\) bằng bao nhiêu?

Chúng ta cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán này nhé!

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định các phần tử của tập hợp A.

Tập hợp \(A\) được định nghĩa bởi phương trình \((x-1)(3x-2)(x+\)\(\sqrt{2}\)\()=0\).

Giải phương trình này, ta có các nghiệm:

\(x-1=0 \Leftrightarrow x=1\)

\(3x-2=0 \Leftrightarrow x=\frac{2}{3}\)

\(x+\)\(\sqrt{2}\)\(=0 \Leftrightarrow x=-\)\(\sqrt{2}\)\

Điều kiện để \(x\) thuộc tập hợp \(A\) là \(x\) phải là số hữu tỉ (Q).

Ta kiểm tra từng nghiệm:

• \(x=1\) là số hữu tỉ.
• \(x=\frac{2}{3}\) là số hữu tỉ.
• \(x=-\)\(\sqrt{2}\)\ là số vô tỉ.

Vậy, tập hợp \(A\) gồm các phần tử: \(A = {1, \frac{2}{3}}\).

Số phần tử của tập hợp \(A\) là n(A) = 2.

Bước 2: Xác định các phần tử của tập hợp B.

Tập hợp \(B\) được định nghĩa bởi phương trình \((2+x)(3x-m^2+4)=0\).

Giải phương trình này, ta có các nghiệm:

\(2+x=0 \Leftrightarrow x=-2\)

\(3x-m^2+4=0 \Leftrightarrow 3x = m^2-4 \Leftrightarrow x=\frac{m^2-4}{3}\)

Điều kiện để \(x\) thuộc tập hợp \(B\) là \(x\) phải là số thực (R).

Cả \(-2\) và \(\frac{m^2-4}{3}\) đều là các số thực với mọi giá trị thực của \(m\).

Vậy, tập hợp \(B\) gồm các phần tử: \(B = {-2, \frac{m^2-4}{3}}\).

Để xác định số phần tử của \(B\), ta cần xem xét hai phần tử này có trùng nhau hay không.

Nếu \(-2 = \frac{m^2-4}{3}\):

\(-6 = m^2-4\)

\(m^2 = -2\)

Phương trình này vô nghiệm trong tập số thực. Điều này có nghĩa là \(-2\) và \(\frac{m^2-4}{3}\) luôn là hai phần tử khác nhau với mọi \(m\) thực.

Vậy, số phần tử của tập hợp \(B\) luôn là n(B) = 2 với mọi giá trị của \(m\).

Bước 3: Sử dụng điều kiện n(A ∪ B) = 3.

Ta có công thức tính số phần tử của hợp hai tập hợp:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

Theo đề bài, n(A ∪ B) = 3. Ta đã tìm được n(A) = 2 và n(B) = 2.

Thay vào công thức:

\(3 = 2 + 2 – n(A ∩ B)\)

\(3 = 4 – n(A ∩ B)\)

\(n(A ∩ B) = 4 – 3\)

\(n(A ∩ B) = 1\)

Điều kiện n(A ∩ B) = 1 có nghĩa là tập hợp \(A\) và tập hợp \(B\) chỉ có đúng một phần tử chung.

Bước 4: Tìm các giá trị của m để n(A ∩ B) = 1.

Tập hợp \(A = {1, \frac{2}{3}}\).

Tập hợp \(B = {-2, \frac{m^2-4}{3}}\).

Để \(n(A ∩ B) = 1\), thì trong hai phần tử của \(A\), phải có đúng một phần tử thuộc \(B\).

Trường hợp 1: Phần tử \(1\) thuộc \(B\).

Nếu \(1 \in B\), thì \(1\) phải bằng một trong hai phần tử của \(B\): \(-2\) hoặc \(\frac{m^2-4}{3}\).

• \(1 = -2\) (Vô lý).
• \(1 = \frac{m^2-4}{3}\)
  \(3 = m^2-4\)
  \(m^2 = 7\)
  \(m = \)\(\sqrt{7}\)\ hoặc \(m = -\)\(\sqrt{7}\)\.

Khi \(m^2 = 7\), thì \(B = {-2, \frac{7-4}{3}}\) = \({-2, \frac{3}{3}}\) = \({-2, 1}\).

Lúc này, \(A \cap B = {1}\). Ta cần kiểm tra xem phần tử còn lại của \(A\) là \(\frac{2}{3}\) có thuộc \(B\) hay không.

Vì \(\frac{2}{3} \neq -2\) và \(\frac{2}{3} \neq 1\), nên \(\frac{2}{3} \notin B\).

Vậy, \(m = \)\(\sqrt{7}\)\ và \(m = -\)\(\sqrt{7}\)\ là các giá trị thỏa mãn.

Trường hợp 2: Phần tử \(\frac{2}{3}\) thuộc \(B\).

Nếu \(\frac{2}{3} \in B\), thì \(\frac{2}{3}\) phải bằng một trong hai phần tử của \(B\): \(-2\) hoặc \(\frac{m^2-4}{3}\).

• \(\frac{2}{3} = -2\) (Vô lý).
• \(\frac{2}{3} = \frac{m^2-4}{3}\)
  \(2 = m^2-4\)
  \(m^2 = 6\)
  \(m = \)\(\sqrt{6}\)\ hoặc \(m = -\)\(\sqrt{6}\)\.

Khi \(m^2 = 6\), thì \(B = {-2, \frac{6-4}{3}}\) = \({-2, \frac{2}{3}}\).

Lúc này, \(A \cap B = {\frac{2}{3}}\). Ta cần kiểm tra xem phần tử còn lại của \(A\) là \(1\) có thuộc \(B\) hay không.

Vì \(1 \neq -2\) và \(1 \neq \frac{2}{3}\), nên \(1 \notin B\).

Vậy, \(m = \)\(\sqrt{6}\)\ và \(m = -\)\(\sqrt{6}\)\ là các giá trị thỏa mãn.

Bước 5: Tính tích các giá trị của m.

Các giá trị của \(m\) thỏa mãn điều kiện đề bài là: \(\)\(\sqrt{7}\)\ , \(-\)\(\sqrt{7}\)\ , \(\)\(\sqrt{6}\)\ , \(-\)\(\sqrt{6}\)\.

Tích các giá trị này là:

\(P = (\)\(\sqrt{7}\)\() \times (-\)\(\sqrt{7}\)\() \times (\)\(\sqrt{6}\)\() \times (-\)\(\sqrt{6}\)\()\)

\(P = (-7) \times (-6)\)

\(P = 42\)

Kết luận:

Tích các giá trị của tham số \(m\) để n(A ∪ B)\(=3\) là \(42\).

Các em nhớ rằng, khi làm bài toán tập hợp có tham số, chúng ta cần phải xác định rõ ràng các phần tử của từng tập, sau đó dùng các công thức về số phần tử của hợp, giao để đưa về điều kiện về tham số \(m\). Đừng quên kiểm tra lại các điều kiện biên và các trường hợp có thể xảy ra nhé.

Chúc các em học tốt!