Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết bài toán về các tập hợp. Đây là một dạng bài rất cơ bản nhưng lại cực kỳ quan trọng để các em nắm vững khái niệm về tập hợp và cách biểu diễn chúng. Chúng ta sẽ cùng nhau đi vào phần a) của bài toán: Viết các tập hợp A, B dưới dạng liệt kê các phần tử.

Để làm tốt bài này, các em cần nhớ rõ định nghĩa của từng loại số (số nguyên Z, số hữu tỉ Q) và cách đọc các ký hiệu bất đẳng thức nhé!

Giải bài toán:

Phần a) Viết các tập hợp A, B dưới dạng liệt kê các phần tử.

1. Xác định các phần tử của tập hợp A:

Đề bài cho tập hợp A như sau:

\(A={x\)∈ \(Z|-1\)\(\leq\)\(x<6}\)

Chúng ta hãy cùng phân tích tập hợp A nhé:

• Điều kiện thứ nhất: \(\(x\)∈ \(Z\)\)
  Điều này có nghĩa là \(\(x\)\) phải là một số nguyên. Các em còn nhớ số nguyên bao gồm những số nào không? Đó là các số tự nhiên \(\(0, 1, 2, …\)\) và các số nguyên âm \(\(-1, -2, -3, …\)\)
• Điều kiện thứ hai: \(\(-1\)\(\leq\)\(x<6\)\)
  Điều này có nghĩa là \(\(x\)\) phải lớn hơn hoặc bằng \(\(-1\)\) và đồng thời nhỏ hơn \(\(6\)\).

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm các số nguyên \(\(x\)\) thỏa mãn cả hai điều kiện trên:

• Vì \(\(x\)\) lớn hơn hoặc bằng \(\(-1\)\) nên giá trị đầu tiên của \(\(x\)\) là \(\(-1\)\)
• Các số nguyên tiếp theo lớn hơn \(\(-1\)\) là \(\(0, 1, 2, 3, 4, 5\)\)
• Chúng ta dừng lại ở số \(\(5\)\) vì \(\(x\)\) phải nhỏ hơn \(\(6\)\) (không có dấu bằng, nên \(\(6\)\) không được tính).

Vậy, các phần tử của tập hợp A là:

\(A = \{-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\}\)

2. Xác định các phần tử của tập hợp B:

Đề bài cho tập hợp B như sau:

\(B={x\) ∈ \(Q|(1-3x)(x^4-3x^2+2)=0}\)

Chúng ta hãy cùng phân tích tập hợp B:

• Điều kiện thứ nhất: \(\(x\) ∈ \(Q\)\)
  Điều này có nghĩa là \(\(x\)\) phải là một số hữu tỉ. Các em nhớ rằng số hữu tỉ là số có thể viết dưới dạng phân số \(\(\frac{a}{b}\)\) với \(\(a\)\) là số nguyên và \(\(b\)\) là số nguyên khác 0.
• Điều kiện thứ hai: \(\((1-3x)(x^4-3x^2+2)=0\)\)
  Đây là một phương trình. Để một tích bằng 0, thì ít nhất một trong các thừa số phải bằng 0. Vậy, chúng ta sẽ có hai trường hợp để giải.

Chúng ta sẽ giải phương trình này để tìm các giá trị của \(\(x\)\):

Trường hợp 1: \(\(1-3x = 0\)\)

Ta có: \(\(1-3x = 0\)\)

\(\(3x = 1\)\)

\(\(x = \frac{1}{3}\)\)

Kiểm tra điều kiện: \(\(\frac{1}{3}\)\) là một số hữu tỉ (vì có dạng phân số). Vậy \(\(x = \frac{1}{3}\)\) là một phần tử của tập hợp B.

Trường hợp 2: \(\(x^4-3x^2+2 = 0\)\)

Đây là một phương trình trùng phương. Chúng ta có thể đặt ẩn phụ để giải:

Đặt \(\(t = x^2\)\). Vì \(\(x^2\)\(\geq\)\(0\)\) nên \(\(t\)\(\geq\)\(0\)\).

Thay \(\(t\)\) vào phương trình, ta được: \(\(t^2 – 3t + 2 = 0\)\)

Đây là một phương trình bậc hai theo ẩn \(\(t\)\).

Chúng ta có thể giải bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm:

Nhận thấy \(\(1 – 3 + 2 = 0\)\) (tổng các hệ số bằng 0), nên phương trình có hai nghiệm đặc biệt là \(\(t_1 = 1\)\) và \(\(t_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{1} = 2\)\).

Bây giờ, chúng ta sẽ thay \(\(t\)\) trở lại \(\(x^2\)\) để tìm \(\(x\)\):

• Với \(\(t_1 = 1\)\):
  \(\(x^2 = 1\)\)
  \(\(x = 1\)\) hoặc \(\(x = -1\)\)
  Kiểm tra điều kiện: \(\(1\)\) và \(\(-1\)\) đều là các số nguyên, và số nguyên là số hữu tỉ. Vậy \(\(x = 1\)\) và \(\(x = -1\)\) là các phần tử của tập hợp B.
• Với \(\(t_2 = 2\)\):
  \(\(x^2 = 2\)\)
  \(\(x = \sqrt{2}\)\) hoặc \(\(x = -\sqrt{2}\)\)
  Kiểm tra điều kiện: \(\(\sqrt{2}\)\) và \(\(-\sqrt{2}\)\) là các số vô tỉ (không thể viết dưới dạng phân số \(\(\frac{a}{b}\)\)). Do đó, chúng không phải là số hữu tỉ. Vậy, \(\(x = \sqrt{2}\)\) và \(\(x = -\sqrt{2}\)\) không phải là các phần tử của tập hợp B.

Tóm lại, các giá trị của \(\(x\)\) thỏa mãn phương trình và điều kiện \(\(x\) ∈ \(Q\)\) là: \(\(\frac{1}{3}, 1, -1\)\).

Vậy, các phần tử của tập hợp B là:

\(B = \{-1; \frac{1}{3}; 1\}\)

Chúc mừng các em đã hoàn thành phần a)! Qua bài này, các em đã ôn lại cách xác định các phần tử của tập hợp dựa trên điều kiện cho trước, cũng như cách giải phương trình và phân loại số hữu tỉ, số vô tỉ. Hãy luôn đọc kỹ đề bài và phân tích từng điều kiện một nhé!