Chào em! Thầy sẽ hướng dẫn em giải bài toán này thật chi tiết nhé. Đây là một bài toán cơ bản về cấp số nhân, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần một.

Đề bài cho: Một cấp số nhân \(U_n\) với

• Số hạng đầu: \(U_1 = -1\)
• Công bội: \(q = 3\)

Chúng ta cùng nhắc lại một số công thức quan trọng của cấp số nhân:

• Số hạng tổng quát: \(U_n = U_1 \cdot q^{n-1}\)
• Tổng \(n\) số hạng đầu tiên: \(S_n = \frac{U_1(1-q^n)}{1-q}\) (với \(q \ne 1\))

Bây giờ chúng ta sẽ đi vào giải từng câu hỏi nhé!

a) Tính \(U_9\), \(U_{11}\)

Để tính các số hạng này, chúng ta sẽ sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \(U_n = U_1 \cdot q^{n-1}\).

Tính \(U_9\):

Trong trường hợp này, \(n = 9\). Áp dụng công thức:

\(U_9 = U_1 \cdot q^{9-1}\)

\(U_9 = U_1 \cdot q^8\)

Thay các giá trị \(U_1 = -1\) và \(q = 3\) vào:

\(U_9 = (-1) \cdot (3)^8\)

Ta tính \(3^8\):

\(3^1 = 3\)

\(3^2 = 9\)

\(3^3 = 27\)

\(3^4 = 81\)

\(3^5 = 243\)

\(3^6 = 729\)

\(3^7 = 2187\)

\(3^8 = 6561\)

Vậy:

\(U_9 = (-1) \cdot 6561\)

\(U_9 = -6561\)

Tính \(U_{11}\):

Trong trường hợp này, \(n = 11\). Áp dụng công thức:

\(U_{11} = U_1 \cdot q^{11-1}\)

\(U_{11} = U_1 \cdot q^{10}\)

Thay các giá trị \(U_1 = -1\) và \(q = 3\) vào:

\(U_{11} = (-1) \cdot (3)^{10}\)

Ta tính \(3^{10}\). Chúng ta đã có \(3^8 = 6561\), vậy \(3^{10} = 3^8 \cdot 3^2\):

\(3^{10} = 6561 \cdot 9\)

\(3^{10} = 59049\)

Vậy:

\(U_{11} = (-1) \cdot 59049\)

\(U_{11} = -59049\)

b) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó

Để tính tổng 10 số hạng đầu tiên, chúng ta sẽ sử dụng công thức tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân: \(S_n = \frac{U_1(1-q^n)}{1-q}\).

Trong trường hợp này, \(n = 10\). Các giá trị đã biết là \(U_1 = -1\) và \(q = 3\).

Áp dụng công thức:

\(S_{10} = \frac{U_1(1-q^{10})}{1-q}\)

Thay các giá trị vào:

\(S_{10} = \frac{(-1)(1-3^{10})}{1-3}\)

Chúng ta đã tính \(3^{10} = 59049\) ở câu a).

\(S_{10} = \frac{(-1)(1-59049)}{-2}\)

\(S_{10} = \frac{(-1)(-59048)}{-2}\)

\(S_{10} = \frac{59048}{-2}\)

\(S_{10} = -29524\)

c) Tính tổng \(S = \frac{1}{U_1} + \frac{1}{U_2} + \frac{1}{U_3} + \frac{1}{U_4}\)

Để tính tổng này, trước tiên chúng ta cần tìm giá trị của \(U_1, U_2, U_3, U_4\).

• \(U_1 = -1\) (đề bài cho)
• \(U_2 = U_1 \cdot q = (-1) \cdot 3 = -3\)
• \(U_3 = U_1 \cdot q^2 = (-1) \cdot 3^2 = (-1) \cdot 9 = -9\)
• \(U_4 = U_1 \cdot q^3 = (-1) \cdot 3^3 = (-1) \cdot 27 = -27\)

Bây giờ chúng ta thay các giá trị này vào biểu thức của \(S\):

\(S = \frac{1}{-1} + \frac{1}{-3} + \frac{1}{-9} + \frac{1}{-27}\)

\(S = -1 – \frac{1}{3} – \frac{1}{9} – \frac{1}{27}\)

Để cộng các phân số này, chúng ta cần tìm mẫu số chung, ở đây là 27.

\(S = -\frac{27}{27} – \frac{1 \cdot 9}{3 \cdot 9} – \frac{1 \cdot 3}{9 \cdot 3} – \frac{1}{27}\)

\(S = -\frac{27}{27} – \frac{9}{27} – \frac{3}{27} – \frac{1}{27}\)

\(S = \frac{-27 – 9 – 3 – 1}{27}\)

\(S = \frac{-40}{27}\)

Vậy, \(S = -\frac{40}{27}\)

Cách khác (dành cho những bạn muốn tìm hiểu thêm):

Dãy số \((\frac{1}{U_n})\) cũng là một cấp số nhân.
Số hạng đầu của dãy mới là \(V_1 = \frac{1}{U_1} = \frac{1}{-1} = -1\).
Công bội của dãy mới là \(q’ = \frac{1}{q} = \frac{1}{3}\).
Khi đó, tổng \(S\) chính là tổng của 4 số hạng đầu tiên của cấp số nhân \(V_n\).

\(S_4′ = \frac{V_1(1-(q’)^4)}{1-q’}\)

\(S_4′ = \frac{(-1)(1-(\frac{1}{3})^4)}{1-\frac{1}{3}}\)

\(S_4′ = \frac{(-1)(1-\frac{1}{81})}{\frac{2}{3}}\)

\(S_4′ = \frac{(-1)(\frac{81-1}{81})}{\frac{2}{3}}\)

\(S_4′ = \frac{(-1)(\frac{80}{81})}{\frac{2}{3}}\)

\(S_4′ = -\frac{80}{81} \cdot \frac{3}{2}\)

\(S_4′ = -\frac{80 \cdot 3}{81 \cdot 2}\)

\(S_4′ = -\frac{240}{162}\)

Rút gọn phân số (chia cả tử và mẫu cho 6):

\(S_4′ = -\frac{40}{27}\)

Kết quả hoàn toàn giống nhau nhé!

Hy vọng phần giải thích chi tiết này sẽ giúp em hiểu rõ bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại nhé!