Bài toán: Cho \( \cos \alpha = -\dfrac{2}{3} \). Tính \( \sin \alpha \) và \( \cot \alpha \).

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản. Các em còn nhớ công thức liên hệ giữa sin và cos không?

Bước 1: Tìm \( \sin \alpha \)

Chúng ta có công thức:

\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)

Đây là công thức “nền tảng” mà chúng ta sẽ sử dụng rất nhiều trong các bài toán lượng giác.

Từ công thức trên, chúng ta có thể suy ra:

\( \sin^2 \alpha = 1 – \cos^2 \alpha \)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay giá trị \( \cos \alpha = -\dfrac{2}{3} \) vào công thức này:

\( \sin^2 \alpha = 1 – \left(-\dfrac{2}{3}\right)^2 \)

\( \sin^2 \alpha = 1 – \dfrac{4}{9} \)

Để thực hiện phép trừ này, chúng ta quy đồng mẫu số:

\( \sin^2 \alpha = \dfrac{9}{9} – \dfrac{4}{9} \)

\( \sin^2 \alpha = \dfrac{5}{9} \)

Bây giờ, để tìm \( \sin \alpha \), chúng ta sẽ lấy căn bậc hai của cả hai vế:

\( \sin \alpha = \pm \sqrt{\dfrac{5}{9}} \)

\( \sin \alpha = \pm \dfrac{\sqrt{5}}{3} \)

Lưu ý quan trọng: Khi lấy căn bậc hai của một số bình phương, chúng ta luôn có hai giá trị, một dương và một âm. Tuy nhiên, đề bài chưa cho biết góc \( \alpha \) thuộc góc phần tư nào, nên \( \sin \alpha \) có thể là dương hoặc âm. Nếu đề bài cho thêm thông tin về góc \( \alpha \) (ví dụ: \( \alpha \) thuộc góc phần tư thứ II), chúng ta sẽ chọn dấu phù hợp.

Bước 2: Tìm \( \cot \alpha \)

Chúng ta có công thức liên hệ giữa cotang và tang, cũng như cotang và cosin, sin:

\( \cot \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)

Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt xét hai trường hợp của \( \sin \alpha \):

Trường hợp 1: \( \sin \alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{3} \)

\( \cot \alpha = \dfrac{-\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}} \)

\( \cot \alpha = -\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{\sqrt{5}} \)

\( \cot \alpha = -\dfrac{2}{\sqrt{5}} \)

Để trục căn thức ở mẫu, chúng ta nhân cả tử và mẫu với \( \sqrt{5} \):

\( \cot \alpha = -\dfrac{2 \sqrt{5}}{5} \)

Trường hợp 2: \( \sin \alpha = -\dfrac{\sqrt{5}}{3} \)

\( \cot \alpha = \dfrac{-\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}} \)

\( \cot \alpha = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{\sqrt{5}} \)

\( \cot \alpha = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \)

Trục căn thức ở mẫu:

\( \cot \alpha = \dfrac{2 \sqrt{5}}{5} \)

Kết luận:

Dựa trên kết quả chúng ta vừa tìm được:

Nếu \( \sin \alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{3} \), thì \( \cot \alpha = -\dfrac{2 \sqrt{5}}{5} \).

Nếu \( \sin \alpha = -\dfrac{\sqrt{5}}{3} \), thì \( \cot \alpha = \dfrac{2 \sqrt{5}}{5} \).

Các em thấy đó, việc nắm vững các công thức lượng giác cơ bản là chìa khóa để giải quyết những bài toán như thế này. Hãy ôn tập thật kỹ các công thức nhé!