Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về lượng giác khá thú vị nhé. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm tích của \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\) khi biết tổng của chúng. Đây là một dạng bài tập rất cơ bản và thường gặp trong chương trình Toán 11.

Đề bài: Cho cung lượng giác \(\alpha\) thỏa mãn \(sin\alpha+cos\alpha=\frac{5}{4}\). Tính \(A=sin\alpha.cos\alpha\).

Để giải quyết bài toán này, các em hãy nhớ lại một công thức lượng giác cơ bản rất quan trọng mà chúng ta đã học:

\(sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1\)

Và một hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã biết từ cấp 2:

\((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\)

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức này để giải bài toán nhé:

Lời giải chi tiết:

Chúng ta có biểu thức đã cho là:

\(sin\alpha+cos\alpha=\frac{5}{4}\)

Để xuất hiện tích \(sin\alpha \cdot cos\alpha\), chúng ta có thể nghĩ đến việc bình phương cả hai vế của phương trình trên. Khi bình phương một tổng, ta sẽ có dạng \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\). Trong trường hợp này, \(a\) là \(\sin\alpha\) và \(b\) là \(\cos\alpha\).

Bình phương hai vế của đẳng thức đã cho, ta được:

\((sin\alpha+cos\alpha)^2 = \left(\frac{5}{4}\right)^2\)

Khai triển vế trái, ta áp dụng công thức \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\):

\(sin^2\alpha + 2sin\alpha cos\alpha + cos^2\alpha = \frac{25}{16}\)

Bây giờ, chúng ta sẽ nhóm các hạng tử lại và sử dụng công thức lượng giác cơ bản \(sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1\) mà chúng ta vừa nhắc lại:

\((sin^2\alpha + cos^2\alpha) + 2sin\alpha cos\alpha = \frac{25}{16}\)

Thay \(sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1\) vào phương trình trên:

\(1 + 2sin\alpha cos\alpha = \frac{25}{16}\)

Mục tiêu của chúng ta là tìm giá trị của \(A=sin\alpha \cdot cos\alpha\). Từ phương trình trên, ta có thể dễ dàng rút ra \(2sin\alpha cos\alpha\):

\(2sin\alpha cos\alpha = \frac{25}{16} – 1\)

Để tính \(\frac{25}{16} – 1\), chúng ta quy đồng mẫu số:

\(2sin\alpha cos\alpha = \frac{25}{16} – \frac{16}{16}\)

\(2sin\alpha cos\alpha = \frac{25-16}{16}\)

\(2sin\alpha cos\alpha = \frac{9}{16}\)

Cuối cùng, để tìm \(sin\alpha cos\alpha\), chúng ta chia cả hai vế cho 2:

\(sin\alpha cos\alpha = \frac{9}{16} \div 2\)

\(sin\alpha cos\alpha = \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{2}\)

\(sin\alpha cos\alpha = \frac{9}{32}\)

Vậy, giá trị của biểu thức \(A\) là:

\(A = \frac{9}{32}\)

Kết luận:

Giá trị của \(A=sin\alpha.cos\alpha\) là \(\frac{9}{32}\).

Qua bài tập này, các em hãy ghi nhớ phương pháp bình phương một tổng (hoặc hiệu) để tạo ra tích \(\sin\alpha \cos\alpha\) và luôn kết hợp với hằng đẳng thức lượng giác cơ bản \(sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1\) nhé. Đây là một kỹ thuật rất hữu ích trong nhiều bài toán lượng giác khác.

Chúc các em học tốt!