Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về chia đa thức cho đơn thức. Đây là một kiến thức rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 8 của chúng ta.

Đề bài: Cho đa thức \(A = 6x^3 y^2 – 5xy^4\) và đơn thức \(B = 4x^m y\) \((m \in \mathbb{N})\)

a) Tìm \(m \in \mathbb{Z}_+\) sao cho \(A \vdots B\)

b) Với \(m\) tìm được ở câu \(a\), thực hiện phép tính \(A : B\).

Chúng ta cùng đi vào lời giải chi tiết nhé!

a) Tìm \(m \in \mathbb{Z}_+\) sao cho \(A \vdots B\)

Để đa thức \(A\) chia hết cho đơn thức \(B\), thì mọi hạng tử của đa thức \(A\) phải chia hết cho đơn thức \(B\).

Đa thức \(A\) có hai hạng tử là \(6x^3 y^2\) và \(-5xy^4\).

Đơn thức \(B\) là \(4x^m y\).

Điều kiện để một đơn thức chia hết cho một đơn thức khác:

Một đơn thức \(C\) chia hết cho đơn thức \(D\) khi:

• Các biến của \(D\) đều có mặt trong \(C\).
• Số mũ của mỗi biến trong \(C\) phải lớn hơn hoặc bằng số mũ của biến đó trong \(D\).
• (Phần hệ số không cần chia hết theo nghĩa số nguyên, mà có thể cho kết quả là phân số).

Áp dụng điều kiện này cho từng hạng tử của \(A\):

1. Hạng tử thứ nhất: \(6x^3 y^2\) phải chia hết cho \(4x^m y\)

Xét biến \(x\): Số mũ của \(x\) trong \(6x^3 y^2\) là \(3\), số mũ của \(x\) trong \(4x^m y\) là \(m\).

Để chia hết, ta phải có: \(3 \ge m\).

Xét biến \(y\): Số mũ của \(y\) trong \(6x^3 y^2\) là \(2\), số mũ của \(y\) trong \(4x^m y\) là \(1\).

Để chia hết, ta phải có: \(2 \ge 1\) (Điều này luôn đúng).

2. Hạng tử thứ hai: \(-5xy^4\) phải chia hết cho \(4x^m y\)

Xét biến \(x\): Số mũ của \(x\) trong \(-5xy^4\) là \(1\), số mũ của \(x\) trong \(4x^m y\) là \(m\).

Để chia hết, ta phải có: \(1 \ge m\).

Xét biến \(y\): Số mũ của \(y\) trong \(-5xy^4\) là \(4\), số mũ của \(y\) trong \(4x^m y\) là \(1\).

Để chia hết, ta phải có: \(4 \ge 1\) (Điều này luôn đúng).

Kết hợp các điều kiện về \(m\):

Để cả hai hạng tử đều chia hết cho \(B\), \(m\) phải thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện:

• \(m \le 3\)
• \(m \le 1\)

Từ đó, ta suy ra: \(m \le 1\).

Đề bài cho biết \(m \in \mathbb{Z}_+\), tức là \(m\) là số nguyên dương. Vậy \(m\) có thể là \(1, 2, 3, \ldots\).

Kết hợp \(m \le 1\) và \(m \in \mathbb{Z}_+\), ta chỉ có một giá trị duy nhất của \(m\) thỏa mãn là: \(m = 1\).

Vậy, \(m = 1\).

b) Với \(m\) tìm được ở câu \(a\), thực hiện phép tính \(A : B\).

Theo kết quả từ câu a), ta có \(m = 1\).

Khi đó, đơn thức \(B\) trở thành: \(B = 4x^1 y = 4xy\).

Để thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức, ta lấy từng hạng tử của đa thức chia cho đơn thức rồi cộng các kết quả lại.

\(A : B = (6x^3 y^2 – 5xy^4) : (4xy)\)

\(A : B = (6x^3 y^2) : (4xy) – (5xy^4) : (4xy)\)

Bây giờ chúng ta sẽ chia từng hạng tử:

1. Chia hạng tử thứ nhất: \((6x^3 y^2) : (4xy)\)

• Phần hệ số: \(6 : 4 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\)
• Phần biến \(x\): \(x^3 : x = x^{3-1} = x^2\)
• Phần biến \(y\): \(y^2 : y = y^{2-1} = y\)

Vậy, \((6x^3 y^2) : (4xy) = \frac{3}{2} x^2 y\)

2. Chia hạng tử thứ hai: \((-5xy^4) : (4xy)\)

• Phần hệ số: \(-5 : 4 = -\frac{5}{4}\)
• Phần biến \(x\): \(x : x = x^{1-1} = x^0 = 1\)
• Phần biến \(y\): \(y^4 : y = y^{4-1} = y^3\)

Vậy, \((-5xy^4) : (4xy) = -\frac{5}{4} y^3\)

Kết quả cuối cùng của phép chia \(A : B\):

\(A : B = \frac{3}{2} x^2 y – \frac{5}{4} y^3\)

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững hơn về cách xác định điều kiện chia hết của đa thức cho đơn thức và cách thực hiện phép chia này.

Chúc các em học tốt!