Chào các em học sinh thân mến!

Thầy rất vui được hướng dẫn các em giải bài tập về đa thức ngày hôm nay. Đây là một dạng bài tập rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 7, giúp các em củng cố kiến thức về cách tính giá trị của đa thức, thu gọn đa thức và thực hiện các phép toán cộng, trừ đa thức. Các em hãy cùng theo dõi bài giải chi tiết dưới đây nhé!

Chúng ta có hai đa thức:

A(x) = \(x^3 + 4x^2 – 1\)

B(x) = \(x^3 + 7x^2 – 4x + 5 – 4x^2 – 3\)

a) Tính giá trị của đa thức A(x) khi x = -2

Để tính giá trị của đa thức A(x) tại một giá trị cụ thể của biến x, chúng ta sẽ thay giá trị đó vào mỗi vị trí có x trong biểu thức của đa thức. Sau đó, chúng ta thực hiện các phép tính theo đúng thứ tự (lũy thừa, nhân/chia, cộng/trừ).

Đa thức A(x) đã cho là: \(A(x) = x^3 + 4x^2 – 1\)

Khi x = -2, chúng ta thay -2 vào x:

A(-2) = \((-2)^3 + 4.(-2)^2 – 1\)

Đầu tiên, tính các lũy thừa:

\((-2)^3 = (-2) . (-2) . (-2) = -8\)

\((-2)^2 = (-2) . (-2) = 4\)

Tiếp theo, thay các giá trị này vào biểu thức:

A(-2) = \(-8 + 4.(4) – 1\)

Thực hiện phép nhân:

A(-2) = \(-8 + 16 – 1\)

Cuối cùng, thực hiện phép cộng và trừ theo thứ tự từ trái sang phải:

A(-2) = \(8 – 1\)

A(-2) = \(7\)

Vậy, giá trị của đa thức A(x) khi x = -2 là 7.

b) Thu gọn đa thức B(x)

Để thu gọn một đa thức, chúng ta cần làm hai việc chính:

1. Nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau. Các hạng tử đồng dạng là những hạng tử có cùng phần biến và cùng số mũ.
2. Cộng hoặc trừ các hệ số của các hạng tử đồng dạng đó.

Đa thức B(x) ban đầu là: \(B(x) = x^3 + 7x^2 – 4x + 5 – 4x^2 – 3\)

Bước 1: Sắp xếp các hạng tử theo lũy thừa giảm dần của biến x và nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau:

B(x) = \(x^3 + (7x^2 – 4x^2) – 4x + (5 – 3)\)

Bước 2: Thực hiện phép tính trong các nhóm hạng tử đồng dạng:

Đối với hạng tử \(x^3\): chỉ có một mình nó, giữ nguyên.

Đối với hạng tử \(x^2\): \(7x^2 – 4x^2 = (7 – 4)x^2 = 3x^2\)

Đối với hạng tử \(x\): chỉ có một mình nó, giữ nguyên.

Đối với các hạng tử tự do (hằng số): \(5 – 3 = 2\)

Vậy, sau khi thu gọn, ta được đa thức B(x) là:

B(x) = \(x^3 + 3x^2 – 4x + 2\)

Đa thức B(x) sau khi thu gọn là: \(x^3 + 3x^2 – 4x + 2\).

c) Tính A(x) + B(x) và A(x) – B(x)

Trước khi thực hiện phép cộng và trừ, chúng ta đã có các đa thức đã được sắp xếp và thu gọn (B(x) đã thu gọn ở câu b)):

A(x) = \(x^3 + 4x^2 – 1\)

B(x) = \(x^3 + 3x^2 – 4x + 2\)

c1) Tính A(x) + B(x)

Để cộng hai đa thức, chúng ta đặt chúng trong ngoặc, rồi bỏ ngoặc (nếu trước ngoặc là dấu cộng thì giữ nguyên dấu các hạng tử bên trong) và cuối cùng là nhóm các hạng tử đồng dạng để thu gọn.

A(x) + B(x) = \((x^3 + 4x^2 – 1) + (x^3 + 3x^2 – 4x + 2)\)

Bỏ ngoặc:

A(x) + B(x) = \(x^3 + 4x^2 – 1 + x^3 + 3x^2 – 4x + 2\)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

A(x) + B(x) = \((x^3 + x^3) + (4x^2 + 3x^2) – 4x + (-1 + 2)\)

Thực hiện phép tính trong từng nhóm:

Đối với hạng tử \(x^3\): \(x^3 + x^3 = (1 + 1)x^3 = 2x^3\)

Đối với hạng tử \(x^2\): \(4x^2 + 3x^2 = (4 + 3)x^2 = 7x^2\)

Đối với hạng tử \(x\): Giữ nguyên \(-4x\)

Đối với hạng tử tự do: \(-1 + 2 = 1\)

Vậy, A(x) + B(x) = \(2x^3 + 7x^2 – 4x + 1\)

Kết quả là: A(x) + B(x) = \(2x^3 + 7x^2 – 4x + 1\).

c2) Tính A(x) – B(x)

Để trừ hai đa thức, chúng ta cũng đặt chúng trong ngoặc. Điều quan trọng cần nhớ là khi bỏ ngoặc có dấu trừ ở phía trước, chúng ta phải đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong ngoặc đó.

A(x) – B(x) = \((x^3 + 4x^2 – 1) – (x^3 + 3x^2 – 4x + 2)\)

Bỏ ngoặc và đổi dấu các hạng tử của B(x):

A(x) – B(x) = \(x^3 + 4x^2 – 1 – x^3 – 3x^2 + 4x – 2\)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

A(x) – B(x) = \((x^3 – x^3) + (4x^2 – 3x^2) + 4x + (-1 – 2)\)

Thực hiện phép tính trong từng nhóm:

Đối với hạng tử \(x^3\): \(x^3 – x^3 = (1 – 1)x^3 = 0x^3 = 0\)

Đối với hạng tử \(x^2\): \(4x^2 – 3x^2 = (4 – 3)x^2 = 1x^2 = x^2\)

Đối với hạng tử \(x\): Giữ nguyên \(+4x\)

Đối với hạng tử tự do: \(-1 – 2 = -3\)

Vậy, A(x) – B(x) = \(0 + x^2 + 4x – 3\)

Hay A(x) – B(x) = \(x^2 + 4x – 3\)

Kết quả là: A(x) – B(x) = \(x^2 + 4x – 3\).

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững hơn cách thực hiện các phép toán với đa thức. Hãy luyện tập thêm để thành thạo hơn nhé! Chúc các em học tốt!