Chào các em học sinh lớp 8 thân mến!

Hôm nay, thầy/cô sẽ cùng các em giải một bài toán liên quan đến đa thức, cụ thể là tìm hệ số của một đa thức bậc nhất khi biết giá trị của nó tại một số điểm. Đây là một dạng bài tập rất cơ bản nhưng lại vô cùng quan trọng, giúp các em củng cố kiến thức về hàm số và hệ phương trình.

Đề bài:

Cho đa thức \(f(x) = ax+b\) biết \(f(-2) = 0\) và \(f(2) = 8\). Tìm \(a\) và \(b\).

Phân tích bài toán:

Chúng ta được cho một đa thức có dạng tổng quát là \(f(x) = ax+b\). Đây là một hàm số bậc nhất. Nhiệm vụ của chúng ta là tìm giá trị cụ thể của hai hệ số \(a\) và \(b\). Để tìm được hai ẩn này, đề bài đã cung cấp cho chúng ta hai thông tin (điều kiện) quan trọng:

• Khi \(x = -2\), giá trị của đa thức \(f(x)\) bằng \(0\). Điều này có nghĩa là \(f(-2) = 0\).
• Khi \(x = 2\), giá trị của đa thức \(f(x)\) bằng \(8\). Điều này có nghĩa là \(f(2) = 8\).

Mỗi điều kiện này sẽ giúp chúng ta lập được một phương trình. Từ hai phương trình đó, chúng ta sẽ có một hệ phương trình tuyến tính với hai ẩn là \(a\) và \(b\). Giải hệ phương trình này sẽ cho chúng ta kết quả cần tìm.

Giải bài toán:

Theo đề bài, chúng ta có đa thức: \(f(x) = ax+b\).

Bước 1: Sử dụng điều kiện thứ nhất

Chúng ta biết rằng \(f(-2) = 0\). Điều này có nghĩa là khi chúng ta thay \(x = -2\) vào biểu thức của \(f(x)\), kết quả phải bằng \(0\).

Thay \(x = -2\) vào \(f(x) = ax+b\), ta được:

\(f(-2) = a \cdot (-2) + b\)

Vì \(f(-2) = 0\), chúng ta có phương trình đầu tiên:

\(-2a + b = 0 \quad \text{(1)}\)

Bước 2: Sử dụng điều kiện thứ hai

Chúng ta biết rằng \(f(2) = 8\). Điều này có nghĩa là khi chúng ta thay \(x = 2\) vào biểu thức của \(f(x)\), kết quả phải bằng \(8\).

Thay \(x = 2\) vào \(f(x) = ax+b\), ta được:

\(f(2) = a \cdot (2) + b\)

Vì \(f(2) = 8\), chúng ta có phương trình thứ hai:

\(2a + b = 8 \quad \text{(2)}\)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Bây giờ, chúng ta có một hệ hai phương trình với hai ẩn \(a\) và \(b\):

\(\begin{cases} -2a + b = 0 \quad (1) \\ \phantom{-}2a + b = 8 \quad (2) \end{cases}\)

Chúng ta có thể giải hệ này bằng phương pháp cộng đại số (cộng vế theo vế của hai phương trình) để loại bỏ biến \(a\), vì các hệ số của \(a\) trong hai phương trình là đối nhau (\(-2\) và \(2\)).

Cộng phương trình (1) với phương trình (2), ta được:

\((-2a + b) + (2a + b) = 0 + 8\)

Mở ngoặc và nhóm các số hạng tương tự:

\(-2a + 2a + b + b = 8\)

\(0a + 2b = 8\)

\(2b = 8\)

Để tìm \(b\), chúng ta chia cả hai vế cho \(2\):

\(b = \frac{8}{2}\)

\(b = 4\)

Bước 4: Tìm giá trị của \(a\)

Sau khi tìm được \(b = 4\), chúng ta thay giá trị này vào một trong hai phương trình ban đầu (1) hoặc (2) để tìm \(a\). Thầy/cô sẽ chọn phương trình (1) vì nó có vẻ đơn giản hơn:

Từ phương trình (1):

\(-2a + b = 0\)

Thay \(b = 4\) vào phương trình:

\(-2a + 4 = 0\)

Chuyển số \(4\) sang vế phải (đổi dấu):

\(-2a = -4\)

Để tìm \(a\), chúng ta chia cả hai vế cho \(-2\):

\(a = \frac{-4}{-2}\)

\(a = 2\)

Kết luận:

Vậy, các giá trị cần tìm là \(a = 2\) và \(b = 4\).

Chúng ta có thể kiểm tra lại kết quả này. Nếu \(a=2\) và \(b=4\), thì đa thức \(f(x)\) sẽ là \(f(x) = 2x + 4\).

• Kiểm tra \(f(-2)\): \(f(-2) = 2 \cdot (-2) + 4 = -4 + 4 = 0\). (Đúng với đề bài!)
• Kiểm tra \(f(2)\): \(f(2) = 2 \cdot (2) + 4 = 4 + 4 = 8\). (Đúng với đề bài!)

Bài giải của chúng ta hoàn toàn chính xác.

Các em nhớ rằng, việc lập hệ phương trình từ các điều kiện cho trước là một kỹ năng rất quan trọng trong Toán học. Hãy luyện tập thêm để thành thạo nhé!