Xin chào các em học sinh lớp 9 thân mến! Hôm nay, thầy sẽ cùng các em đi tìm hiểu và giải một bài toán thú vị về đa thức. Bài toán này đòi hỏi chúng ta vận dụng kiến thức về chia hết và tính chất của đa thức.

Bài toán: Cho đa thức \(f(x)=ax^2+bx+c \) với \(a,b,c∈Z\) . Biết \(f(1)\) chia hết cho \(3\) , \(f(0)\) chia hết cho \(3\) , \(f(-1)\) chia hết cho \(3\) . CMR \(a,b,c \) đều chia hết cho \(3\).

Trước hết, chúng ta hãy cùng phân tích đề bài. Đề bài cho chúng ta một đa thức bậc hai có dạng \(f(x)=ax^2+bx+c \), trong đó các hệ số \(a, b, c\) đều là số nguyên. Chúng ta có ba điều kiện về giá trị của đa thức tại các điểm \(x=1, x=0, x=-1\):

• \(f(1)\) chia hết cho \(3\).
• \(f(0)\) chia hết cho \(3\).
• \(f(-1)\) chia hết cho \(3\).

Và chúng ta cần chứng minh rằng cả ba hệ số \(a, b, c\) đều chia hết cho \(3\).

Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt sử dụng các điều kiện đã cho để suy luận.

Bước 1: Sử dụng điều kiện \(f(0)\) chia hết cho \(3\).

Thay \(x=0\) vào đa thức \(f(x)\), ta có:

\(f(0) = a(0)^2 + b(0) + c\)
\(f(0) = 0 + 0 + c\)
\(f(0) = c\)

Theo đề bài, \(f(0)\) chia hết cho \(3\). Điều này có nghĩa là \(c\) chia hết cho \(3\).

Suy luận 1: \(c\) chia hết cho \(3\).

Bước 2: Sử dụng điều kiện \(f(1)\) chia hết cho \(3\).

Thay \(x=1\) vào đa thức \(f(x)\), ta có:

\(f(1) = a(1)^2 + b(1) + c\)
\(f(1) = a + b + c\)

Theo đề bài, \(f(1)\) chia hết cho \(3\). Vậy nên, \(a + b + c\) chia hết cho \(3\).

Chúng ta đã biết \(c\) chia hết cho \(3\) từ Bước 1.

Nếu \(a + b + c\) chia hết cho \(3\) và \(c\) chia hết cho \(3\), thì \(a + b\) cũng phải chia hết cho \(3\).

(Giải thích: Nếu \(a+b+c = 3k\) và \(c=3m\) với \(k, m \in \mathbb{Z}\), thì \(a+b = 3k – c = 3k – 3m = 3(k-m)\), nên \(a+b\) chia hết cho \(3\)).

Suy luận 2: \(a + b\) chia hết cho \(3\).

Bước 3: Sử dụng điều kiện \(f(-1)\) chia hết cho \(3\).

Thay \(x=-1\) vào đa thức \(f(x)\), ta có:

\(f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c\)
\(f(-1) = a(1) – b + c\)
\(f(-1) = a – b + c\)

Theo đề bài, \(f(-1)\) chia hết cho \(3\). Vậy nên, \(a – b + c\) chia hết cho \(3\).

Chúng ta đã biết \(c\) chia hết cho \(3\) từ Bước 1.

Nếu \(a – b + c\) chia hết cho \(3\) và \(c\) chia hết cho \(3\), thì \(a – b\) cũng phải chia hết cho \(3\).

(Giải thích tương tự như trên, \(a-b = (a-b+c) – c\). Vì \(a-b+c\) chia hết cho \(3\) và \(c\) chia hết cho \(3\), nên hiệu của chúng là \(a-b\) cũng chia hết cho \(3\)).

Suy luận 3: \(a – b\) chia hết cho \(3\).

Bước 4: Kết hợp các suy luận để chứng minh \(a\) và \(b\) chia hết cho \(3\).

Chúng ta có hai kết quả quan trọng từ các bước trước:

• \(a + b\) chia hết cho \(3\). (Từ Suy luận 2)
• \(a – b\) chia hết cho \(3\). (Từ Suy luận 3)

Bây giờ, chúng ta hãy xét tổng của hai biểu thức này:

\((a + b) + (a – b) = a + b + a – b = 2a\)

Vì \(a + b\) chia hết cho \(3\) và \(a – b\) chia hết cho \(3\), nên tổng của chúng là \(2a\) cũng phải chia hết cho \(3\).

Trong tập số nguyên, nếu tích của một số nguyên với \(2\) mà chia hết cho \(3\), thì số nguyên đó phải chia hết cho \(3\). Điều này là do \(2\) và \(3\) là hai số nguyên tố cùng nhau (ước chung lớn nhất của \(2\) và \(3\) là \(1\)).

Do đó, vì \(2a\) chia hết cho \(3\), suy ra \(a\) chia hết cho \(3\).

Suy luận 4: \(a\) chia hết cho \(3\).

Cuối cùng, chúng ta đã biết \(a + b\) chia hết cho \(3\) (Suy luận 2) và bây giờ chúng ta biết \(a\) chia hết cho \(3\) (Suy luận 4).

Chúng ta có thể suy ra \(b\) chia hết cho \(3\) bằng cách sau:

\(b = (a + b) – a\)

Vì \(a + b\) chia hết cho \(3\) và \(a\) chia hết cho \(3\), nên hiệu của chúng là \(b\) cũng phải chia hết cho \(3\).

Suy luận 5: \(b\) chia hết cho \(3\).

Kết luận:

Từ các suy luận trên, chúng ta có:

• \(c\) chia hết cho \(3\) (từ Bước 1).
• \(a\) chia hết cho \(3\) (từ Bước 4).
• \(b\) chia hết cho \(3\) (từ Bước 4).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \(a, b, c\) đều chia hết cho \(3\).

Thầy hy vọng bài giải chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ cách giải bài toán. Hãy nhớ rằng, trong toán học, việc phân tích đề bài, sử dụng từng điều kiện một cách cẩn thận và kết hợp các suy luận là chìa khóa để tìm ra lời giải.

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!