Chào các em học sinh yêu quý,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán đại số thú vị nhé. Đây là một dạng bài thường gặp trong chương trình Toán lớp 8 và đòi hỏi chúng ta phải khéo léo biến đổi biểu thức.

Đề bài:

Cho \(\dfrac{1}{a}\) + \(\dfrac{1}{b}\) + \(\dfrac{1}{c}\) = 0

Tính giá trị biểu thức

M = \(\dfrac{b+c}{a}\) + \(\dfrac{a+c}{b}\) + \(\dfrac{a+b}{c}\)

Phân tích và lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích điều kiện đã cho

Chúng ta được cho điều kiện: \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 0\)

Để các phân thức này có nghĩa, các mẫu số \(a, b, c\) phải khác 0. Đây là một điều kiện ngầm định rất quan trọng.

Từ điều kiện \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 0\), ta tiến hành quy đồng mẫu số chung là \(abc\):

\(\dfrac{bc}{abc} + \dfrac{ac}{abc} + \dfrac{ab}{abc} = 0\)

Gộp các phân thức lại:

\(\dfrac{ab + bc + ca}{abc} = 0\)

Vì \(a, b, c \neq 0\) nên \(abc \neq 0\). Do đó, để phân thức bằng 0 thì tử số phải bằng 0.

Vậy, chúng ta rút ra được một điều kiện quan trọng từ giả thiết là: \(\mathbf{ab + bc + ca = 0}\) (Tạm gọi đây là điều kiện (1))

Bước 2: Biến đổi biểu thức M

Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét biểu thức M cần tính giá trị:

M = \(\dfrac{b+c}{a} + \dfrac{a+c}{b} + \dfrac{a+b}{c}\)

Để tính giá trị của biểu thức này một cách hiệu quả, chúng ta có một “thủ thuật” nhỏ nhưng rất mạnh mẽ. Đó là cộng thêm 1 vào mỗi phân số trong biểu thức M, rồi sau đó bù trừ lại bằng cách bớt đi 3 (vì chúng ta đã thêm vào 1 ba lần):

M = \(\left(\dfrac{b+c}{a} + 1\right) + \left(\dfrac{a+c}{b} + 1\right) + \left(\dfrac{a+b}{c} + 1\right) – 3\)

Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện phép cộng trong từng dấu ngoặc đơn. Nhớ lại cách cộng một số nguyên với một phân số: \(x + \dfrac{y}{z} = \dfrac{xz+y}{z}\)

Đối với hạng tử thứ nhất:

\(\dfrac{b+c}{a} + 1 = \dfrac{b+c}{a} + \dfrac{a}{a} = \dfrac{a+b+c}{a}\)

Đối với hạng tử thứ hai:

\(\dfrac{a+c}{b} + 1 = \dfrac{a+c}{b} + \dfrac{b}{b} = \dfrac{a+b+c}{b}\)

Đối với hạng tử thứ ba:

\(\dfrac{a+b}{c} + 1 = \dfrac{a+b}{c} + \dfrac{c}{c} = \dfrac{a+b+c}{c}\)

Thay các kết quả này trở lại vào biểu thức M:

M = \(\dfrac{a+b+c}{a} + \dfrac{a+b+c}{b} + \dfrac{a+b+c}{c} – 3\)

Để đơn giản hơn, chúng ta có thể đặt tổng \(a+b+c\) là một biến tạm, ví dụ \(K = a+b+c\). Khi đó, biểu thức M trở thành:

M = \(\dfrac{K}{a} + \dfrac{K}{b} + \dfrac{K}{c} – 3\)

Chúng ta thấy rằng \(K\) là thừa số chung trong ba hạng tử đầu tiên, nên chúng ta có thể đặt \(K\) ra ngoài dấu ngoặc:

M = \(K \left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right) – 3\)

Bước 3: Sử dụng điều kiện đã cho để tính giá trị của M

Bây giờ, hãy nhìn lại điều kiện ban đầu mà đề bài đã cho chúng ta:

\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 0\)

Chúng ta chỉ việc thay giá trị này vào biểu thức M:

M = \(K \times 0 – 3\)

M = \(0 – 3\)

M = \(-3\)

Kết luận:

Vậy, giá trị của biểu thức M là \(\mathbf{-3}\).

Qua bài toán này, chúng ta đã ôn lại kỹ năng quy đồng mẫu số, biến đổi biểu thức và đặc biệt là áp dụng điều kiện đã cho một cách khéo léo (bằng cách thêm bớt hợp lý) để tìm ra kết quả. Hãy nhớ rằng đôi khi việc “thêm bớt” một cách hợp lý có thể giúp đơn giản hóa bài toán rất nhiều nhé!

Chúc các em học tốt!