Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ, một chủ đề rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 9 của chúng ta.

Đề bài: Cho đường thẳng d có phương trình: \(x(m-1) – 3y = 5\). Tìm giá trị của \(m\) để đường thẳng d cắt cả hai trục tọa độ.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ ý nghĩa của việc “đường thẳng cắt cả hai trục tọa độ”. Điều này có nghĩa là đường thẳng d phải có giao điểm với trục hoành (trục Ox) và có giao điểm với trục tung (trục Oy).

Chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm giao điểm của đường thẳng d với trục tung (Oy).

Một điểm nằm trên trục tung Oy sẽ có hoành độ \(x = 0\). Ta thay \(x = 0\) vào phương trình đường thẳng d:

\(0 \cdot (m-1) – 3y = 5\)
\(\Rightarrow 0 – 3y = 5\)
\(\Rightarrow -3y = 5\)
\(\Rightarrow y = -\frac{5}{3}\)

Vậy, đường thẳng d luôn cắt trục tung Oy tại điểm có tọa độ là \((0, -\frac{5}{3})\), với mọi giá trị của \(m\). Điều này có nghĩa là đường thẳng d không bao giờ song song với trục tung Oy.

Bước 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d với trục hoành (Ox).

Một điểm nằm trên trục hoành Ox sẽ có tung độ \(y = 0\). Ta thay \(y = 0\) vào phương trình đường thẳng d:

\(x(m-1) – 3 \cdot 0 = 5\)
\(\Rightarrow x(m-1) – 0 = 5\)
\(\Rightarrow x(m-1) = 5\)

Để tìm giá trị của \(x\), chúng ta cần xét hai trường hợp của hệ số \((m-1)\):

Trường hợp 1: Nếu \(m-1 \neq 0\), tức là \(m \neq 1\).

Khi đó, ta có thể chia cả hai vế cho \((m-1)\):
\(x = \frac{5}{m-1}\)

Trong trường hợp này, đường thẳng d cắt trục hoành Ox tại điểm có tọa độ là \((\frac{5}{m-1}, 0)\).

Trường hợp 2: Nếu \(m-1 = 0\), tức là \(m = 1\).

Thay \(m = 1\) vào phương trình \(x(m-1) = 5\), ta được:
\(x(1-1) = 5\)
\(\Rightarrow x \cdot 0 = 5\)
\(\Rightarrow 0 = 5\)

Đây là một điều vô lý (mâu thuẫn). Điều này có nghĩa là khi \(m=1\), không có giá trị \(x\) nào thỏa mãn phương trình, hay nói cách khác, đường thẳng d không cắt trục hoành Ox. Khi \(m=1\), phương trình đường thẳng d trở thành: \(x(1-1) – 3y = 5 \Rightarrow -3y = 5 \Rightarrow y = -\frac{5}{3}\). Đây là một đường thẳng song song với trục hoành Ox (và không trùng với trục hoành Ox vì \(-\frac{5}{3} \neq 0\)), do đó nó không cắt trục hoành Ox.

Bước 3: Kết luận điều kiện để đường thẳng d cắt cả hai trục tọa độ.

Từ Bước 1, chúng ta thấy rằng đường thẳng d luôn cắt trục tung Oy với mọi giá trị của \(m\).

Từ Bước 2, để đường thẳng d cắt trục hoành Ox, điều kiện là \((m-1) \neq 0\), tức là \(m \neq 1\).

Vậy, để đường thẳng d cắt cả hai trục tọa độ, chúng ta cần thỏa mãn điều kiện là đường thẳng d cắt được trục hoành Ox. Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(m \neq 1\).

Trả lời:

Đường thẳng d cắt cả hai trục tọa độ khi và chỉ khi \(m \neq 1\).

Thầy chúc các em học tốt và nắm vững kiến thức này nhé!