Chào em, thầy sẽ hướng dẫn em giải bài toán này một cách chi tiết và dễ hiểu nhất nhé. Đây là một dạng bài khá hay và thường gặp trong chương trình Toán lớp 9 của chúng ta.

Đề bài: Cho đường thẳng \( ( m – 2 )x + ( m – 1 )y = 1 \). Tìm giá trị của \( m \) để khoảng cách từ gốc tọa độ \( O \) đến đường thẳng là lớn nhất.

—

Bài giải chi tiết:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ cần sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Bước 1: Đưa phương trình đường thẳng về dạng tổng quát và xác định các hệ số.

Phương trình đường thẳng đã cho là: \( (m – 2)x + (m – 1)y = 1 \)

Chúng ta cần đưa về dạng \( Ax + By + C = 0 \):
\( (m – 2)x + (m – 1)y – 1 = 0 \)

Từ đó, ta xác định được các hệ số:

• \( A = m – 2 \)
• \( B = m – 1 \)
• \( C = -1 \)

Bước 2: Xác định tọa độ điểm và áp dụng công thức tính khoảng cách.

Gốc tọa độ \( O \) có tọa độ là \( (x_0, y_0) = (0, 0) \).

Công thức tính khoảng cách \( d \) từ điểm \( (x_0, y_0) \) đến đường thẳng \( Ax + By + C = 0 \) là:

\( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)

Thay các giá trị \( A, B, C, x_0, y_0 \) vào công thức, ta được:

\( d = \frac{|(m – 2)(0) + (m – 1)(0) + (-1)|}{\sqrt{(m – 2)^2 + (m – 1)^2}} \)

\( d = \frac{|-1|}{\sqrt{(m – 2)^2 + (m – 1)^2}} \)

\( d = \frac{1}{\sqrt{(m – 2)^2 + (m – 1)^2}} \)

Bước 3: Phân tích biểu thức khoảng cách để tìm giá trị lớn nhất.

Chúng ta muốn tìm giá trị của \( m \) để \( d \) đạt giá trị lớn nhất.

Quan sát biểu thức của \( d \), ta thấy tử số là một hằng số dương (là 1). Để phân số có giá trị lớn nhất, thì mẫu số phải có giá trị nhỏ nhất (và dương).

Vậy, bài toán trở thành tìm \( m \) để biểu thức \( \sqrt{(m – 2)^2 + (m – 1)^2} \) đạt giá trị nhỏ nhất.

Để \( \sqrt{(m – 2)^2 + (m – 1)^2} \) nhỏ nhất, thì biểu thức bên trong dấu căn là \( S = (m – 2)^2 + (m – 1)^2 \) phải đạt giá trị nhỏ nhất.

Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( S \) theo \( m \).

Hãy khai triển và rút gọn biểu thức \( S \):

\( S = (m – 2)^2 + (m – 1)^2 \)

\( S = (m^2 – 4m + 4) + (m^2 – 2m + 1) \)

\( S = 2m^2 – 6m + 5 \)

Đây là một tam thức bậc hai (parabol có bề lõm hướng lên trên), nên nó sẽ có giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của parabol.

Chúng ta có thể tìm giá trị \( m \) tại đỉnh bằng hai cách:

Cách 4.1: Sử dụng công thức tọa độ đỉnh của parabol \( ax^2 + bx + c \) là \( x = -\frac{b}{2a} \).

Ở đây, \( a = 2 \), \( b = -6 \).
Vậy, \( m = -\frac{-6}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \).

Cách 4.2: Phương pháp hoàn thành bình phương.

\( S = 2m^2 – 6m + 5 \)

\( S = 2(m^2 – 3m) + 5 \)

Để hoàn thành bình phương trong ngoặc \( m^2 – 3m \), ta cần thêm và bớt \( (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} \):

\( S = 2(m^2 – 3m + \frac{9}{4} – \frac{9}{4}) + 5 \)

\( S = 2[(m – \frac{3}{2})^2 – \frac{9}{4}] + 5 \)

\( S = 2(m – \frac{3}{2})^2 – 2 \cdot \frac{9}{4} + 5 \)

\( S = 2(m – \frac{3}{2})^2 – \frac{9}{2} + 5 \)

\( S = 2(m – \frac{3}{2})^2 – \frac{9}{2} + \frac{10}{2} \)

\( S = 2(m – \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2} \)

Vì \( (m – \frac{3}{2})^2 \ge 0 \) với mọi \( m \), nên \( 2(m – \frac{3}{2})^2 \ge 0 \).
Do đó, \( S = 2(m – \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2} \).

Giá trị nhỏ nhất của \( S \) là \( \frac{1}{2} \) khi \( (m – \frac{3}{2})^2 = 0 \), tức là \( m – \frac{3}{2} = 0 \Rightarrow m = \frac{3}{2} \).

Kết luận:

Khoảng cách \( d \) từ gốc tọa độ \( O \) đến đường thẳng là lớn nhất khi \( m = \frac{3}{2} \).

Khi đó, khoảng cách lớn nhất là:

\( d_{max} = \frac{1}{\sqrt{S_{min}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2} \)

—

Cách làm tổng quát cho dạng bài này:

Đối với dạng bài tìm giá trị của tham số để khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất, chúng ta thường thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đưa phương trình đường thẳng về dạng tổng quát \( Ax + By + C = 0 \).

Xác định rõ các hệ số \( A, B, C \) (chúng thường phụ thuộc vào tham số cần tìm, ví dụ \( m \)).

Bước 2: Xác định tọa độ điểm \( (x_0, y_0) \) cần tính khoảng cách.

Trong bài toán này là gốc tọa độ \( O(0,0) \).

Bước 3: Áp dụng công thức tính khoảng cách.

Sử dụng công thức \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \) để biểu diễn khoảng cách \( d \) theo tham số.

Bước 4: Phân tích biểu thức khoảng cách.

• Trường hợp phổ biến (như bài toán trên): Tử số là một hằng số (không phụ thuộc vào tham số).
  • Để \( d \) lớn nhất, hãy tìm giá trị của tham số để mẫu số \( \sqrt{A^2 + B^2} \) nhỏ nhất.
  • Để \( d \) nhỏ nhất, hãy tìm giá trị của tham số để mẫu số \( \sqrt{A^2 + B^2} \) lớn nhất.
  • Việc này thường quy về việc tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của biểu thức \( A^2 + B^2 \) (là một hàm số bậc hai theo tham số).
• Trường hợp phức tạp hơn: Cả tử số và mẫu số đều phụ thuộc vào tham số.
  • Khi đó, bạn cần xét hàm số \( f(m) = d \) và tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm số này.
  • Đối với học sinh lớp 9, thường sẽ có cách biến đổi đại số hoặc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản (ví dụ: Cauchy-Schwarz, AM-GM) để giải quyết. Nếu không, bài toán có thể yêu cầu kiến thức đạo hàm của lớp 12.

Bước 5: Giải bài toán tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của biểu thức \( A^2 + B^2 \) (hoặc hàm \( d(m) \)).

Thông thường, \( A^2 + B^2 \) sẽ là một tam thức bậc hai theo tham số. Bạn có thể sử dụng:

• Công thức tọa độ đỉnh của parabol \( x = -\frac{b}{2a} \) (nếu là hàm bậc hai).
• Phương pháp hoàn thành bình phương.
• Nếu là các hàm số khác, cần kỹ năng khảo sát hàm số hoặc biến đổi đại số phù hợp.

Bước 6: Kết luận giá trị của tham số.

Sau khi tìm được giá trị của tham số, cần ghi rõ kết luận cho bài toán.

Thầy hy vọng bài giải chi tiết và cách làm tổng quát này sẽ giúp em hiểu rõ hơn về dạng toán này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại nhé!