Bài toán: Cho \(f:[0,1]toRR\) là hàm khả vi vô hạn lần (\(f\inC^oo[0,1]\)) và thỏa mãn:
\(f^((n))(0)=0\) với mọi \(n=0,1,2,…\)
Chứng minh rằng không nhất thiết \(f(x)\equiv0\) trên \([0,1]\).
Sau đó, hãy tìm một hàm cụ thể thỏa mãn toàn bộ điều kiện trên nhưng \(f(x)\ne0\) với mọi \(x>0\).

—

Phần 1: Chứng minh không nhất thiết \(f(x)\equiv0\) trên \([0,1]\)

Các em hãy nhớ lại định lý Taylor với phần dư dạng Lagrange. Nếu một hàm \(f\) khả vi \(n+1\) lần trên một khoảng nào đó, thì ta có thể khai triển Taylor của \(f\) tại một điểm \(a\) như sau:
\(f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f”(a)}{2!}(x-a)^2 + … + \frac{f^((n))(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)\)
với phần dư \(R_n(x) = \frac{f^((n+1))(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\) cho một \(c\) nào đó giữa \(a\) và \(x\).

Trong bài toán này, chúng ta có \(f \in C^\infty[0,1]\) và \(f^((n))(0)=0\) với mọi \(n \ge 0\).
Chúng ta sẽ sử dụng khai triển Taylor của \(f\) tại điểm \(a=0\).

Nếu \(f(x) \equiv 0\) trên \([0,1]\), thì rõ ràng tất cả các đạo hàm của nó tại 0 cũng sẽ bằng 0.
Tuy nhiên, điều ngược lại chưa chắc đã đúng. Tức là, dù tất cả các đạo hàm tại 0 bằng 0, hàm \(f(x)\) vẫn có thể khác 0 tại các điểm khác trong khoảng \([0,1]\).

Hãy xem xét chuỗi Taylor của \(f\) tại \(x=0\):
\(f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f”(0)}{2!}x^2 + \frac{f”'(0)}{3!}x^3 + …\)
Theo giả thiết, \(f^((n))(0) = 0\) với mọi \(n \ge 0\).
Do đó, chuỗi Taylor của \(f\) tại \(x=0\) là:
\(f(x) = 0 + 0 \cdot x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + … = 0\)

Đây là một điểm mấu chốt. Nếu chuỗi Taylor này hội tụ về chính hàm \(f(x)\) trên một khoảng nào đó quanh 0, thì \(f(x)\) chắc chắn sẽ bằng 0.
Tuy nhiên, không phải mọi hàm \(C^\infty\) đều bằng chuỗi Taylor của nó.

Để chứng minh rằng không nhất thiết \(f(x) \equiv 0\), chúng ta cần tìm một hàm \(f\) mà thỏa mãn điều kiện \(f^((n))(0)=0\) với mọi \(n\), nhưng \(f(x)\) không đồng nhất bằng 0 trên \([0,1]\).

—

Phần 2: Tìm một hàm cụ thể thỏa mãn điều kiện và \(f(x)\ne0\) với mọi \(x>0\)

Chúng ta cần một hàm mà “bắt đầu” bằng 0 tại \(x=0\) và các đạo hàm của nó tại 0 cũng bằng 0, nhưng sau đó nó lại “vươn lên” khác 0.

Một ứng cử viên sáng giá cho bài toán này là hàm có dạng liên quan đến hàm mũ, vì hàm mũ có đạo hàm rất “sạch sẽ”. Tuy nhiên, hàm mũ \(e^x\) không thỏa mãn điều kiện đạo hàm tại 0 bằng 0.

Chúng ta sẽ xem xét hàm có dạng \(f(x) = e^{-\frac{1}{x}}\) cho \(x > 0\).
Hàm này có một tính chất rất đặc biệt: tất cả các đạo hàm của nó tại \(x=0\) đều bằng 0.
Tuy nhiên, hàm này chỉ định nghĩa cho \(x>0\). Để nó được định nghĩa trên \([0,1]\), chúng ta cần xử lý tại \(x=0\).

Chúng ta định nghĩa hàm \(f(x)\) như sau:
\(f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x}} & \text{if } x > 0 \\ 0 & \text{if } x = 0 \end{cases}\)

Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra xem hàm này có thỏa mãn các điều kiện của bài toán trên đoạn \([0,1]\) hay không.

1. \(f \in C^\infty[0,1]\)

Trước hết, ta thấy \(f(x) = e^{-\frac{1}{x}}\) với \(x>0\) là một hàm khả vi vô hạn lần.
Chúng ta cần kiểm tra tính khả vi và giá trị đạo hàm tại \(x=0\).

Ta có \(f(0) = 0\).
Xét giới hạn của \(f(x)\) khi \(x \to 0^+\):
\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} e^{-\frac{1}{x}}\)
Đặt \(y = \frac{1}{x}\). Khi \(x \to 0^+\), thì \(y \to +\infty\).
\(\lim_{y \to +\infty} e^{-y} = 0\).
Do đó, \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 = f(0)\). Hàm \(f\) liên tục tại \(x=0\).

Bây giờ, ta tính đạo hàm của \(f\) tại \(x=0\).
\(f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) – f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) – 0}{h}\)
Đối với \(h>0\):
\(f'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{e^{-\frac{1}{h}}}{h}\)
Đặt \(t = \frac{1}{h}\). Khi \(h \to 0^+\), thì \(t \to +\infty\).
\(f'(0) = \lim_{t \to +\infty} \frac{e^{-t}}{1/t} = \lim_{t \to +\infty} \frac{t}{e^t}\)
Đây là dạng vô định \(\frac{\infty}{\infty}\), ta có thể dùng quy tắc L’Hopital:
\(f'(0) = \lim_{t \to +\infty} \frac{1}{e^t} = 0\).

Ta đã có \(f'(0) = 0\). Bây giờ chúng ta cần tính các đạo hàm bậc cao hơn tại 0.
Thật vậy, có thể chứng minh một cách quy nạp rằng đạo hàm bậc \(n\) của \(f(x)\) cho \(x>0\) có dạng:
\(f^((n))(x) = P_n(\frac{1}{x}) e^{-\frac{1}{x}}\), trong đó \(P_n(u)\) là một đa thức của \(u\).
Ví dụ:
\(f'(x) = \frac{1}{x^2} e^{-\frac{1}{x}}\)
\(f”(x) = (-\frac{2}{x^3})e^{-\frac{1}{x}} + (\frac{1}{x^2}) (\frac{1}{x^2} e^{-\frac{1}{x}}) = (-\frac{2}{x^3} + \frac{1}{x^4}) e^{-\frac{1}{x}}\)

Khi tính giới hạn của \(f^((n))(x)\) khi \(x \to 0^+\), ta luôn có dạng \(\lim_{x \to 0^+} P_n(\frac{1}{x}) e^{-\frac{1}{x}}\).
Đặt \(t = \frac{1}{x}\), ta có \(\lim_{t \to +\infty} Q(t) e^{-t}\), với \(Q(t)\) là một đa thức của \(t\).
Một đa thức nhân với hàm mũ suy giảm nhanh hơn \(e^{-t}\) sẽ tiến về 0.
Do đó, \(\lim_{x \to 0^+} f^((n))(x) = 0\) với mọi \(n \ge 0\).

Điều này cho phép chúng ta khẳng định rằng:
\(f^((n))(0) = \lim_{x \to 0^+} f^((n))(x) = 0\) với mọi \(n \ge 0\).

Vậy, hàm \(f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x}} & \text{if } x > 0 \\ 0 & \text{if } x = 0 \end{cases}\) thỏa mãn điều kiện \(f^((n))(0)=0\) với mọi \(n \ge 0\).
Vì \(e^{-\frac{1}{x}}\) là hàm khả vi vô hạn lần trên \((0,1]\), và chúng ta đã chỉ ra rằng tất cả các đạo hàm tại 0 đều bằng 0, nên \(f \in C^\infty[0,1]\).

2. \(f(x) \ne 0\) với mọi \(x > 0\)

Với định nghĩa trên, với mọi \(x > 0\), ta có \(f(x) = e^{-\frac{1}{x}}\).
Vì hàm mũ \(e^u > 0\) với mọi \(u \in \mathbb{R}\), và \(-\frac{1}{x}\) xác định khi \(x>0\), nên \(f(x) = e^{-\frac{1}{x}} > 0\) với mọi \(x > 0\).
Do đó, \(f(x) \ne 0\) với mọi \(x > 0\).

Như vậy, chúng ta đã tìm được một hàm cụ thể thỏa mãn toàn bộ các điều kiện của bài toán.

Kết luận:
Hàm \(f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x}} & \text{if } x \in (0,1] \\ 0 & \text{if } x = 0 \end{cases}\) là một ví dụ cho thấy không nhất thiết \(f(x) \equiv 0\) trên \([0,1]\) khi \(f \in C^\infty[0,1]\) và \(f^((n))(0) = 0\) với mọi \(n \ge 0\). Hàm này còn thỏa mãn \(f(x) \ne 0\) với mọi \(x > 0\).

Bài toán này minh họa cho sự khác biệt giữa chuỗi Taylor và bản thân hàm số. Một hàm có thể có tất cả các hệ số trong khai triển Taylor bằng 0 tại một điểm, nhưng bản thân hàm đó vẫn có thể khác 0 ở những nơi khác. Điều này xảy ra khi chuỗi Taylor không hội tụ về hàm số, hoặc hội tụ về 0 trong trường hợp này.

Các em về nhà có thể thử tìm hiểu thêm về các hàm khác có tính chất tương tự nhé.
Nếu có câu hỏi nào, các em cứ mạnh dạn hỏi thầy/cô.