Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về hàm số bậc hai rất thú vị nhé. Đây là một dạng bài thường gặp, giúp chúng ta củng cố kiến thức về đa thức và các phép biến đổi đại số.

Đề bài: Cho hàm số \(f(x) = ax^2 + bx + c\), trong đó \(a,b,c\) là hệ số biết \(f(x+1) – f(x) = 2x – 3 \). Tính : \(P = \frac{f(5) – f(2)}{9}\).

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định mối quan hệ giữa các hệ số \(a, b\) từ đẳng thức đã cho.

Ta có hàm số \(f(x) = ax^2 + bx + c\).

Hãy tính \(f(x+1)\):
\(f(x+1) = a(x+1)^2 + b(x+1) + c\)
\(f(x+1) = a(x^2 + 2x + 1) + b(x+1) + c\)
\(f(x+1) = ax^2 + 2ax + a + bx + b + c\)
\(f(x+1) = ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ tính hiệu \(f(x+1) – f(x)\):
\(f(x+1) – f(x) = (ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c)) – (ax^2 + bx + c)\)
\(f(x+1) – f(x) = ax^2 + (2a+b)x + a+b+c – ax^2 – bx – c\)
\(f(x+1) – f(x) = (ax^2 – ax^2) + ((2a+b)x – bx) + (a+b+c – c)\)
\(f(x+1) – f(x) = 2ax + (a+b)\)

Theo đề bài, ta có \(f(x+1) – f(x) = 2x – 3\).
Vậy, ta có đẳng thức:
\(2ax + (a+b) = 2x – 3\)

Vì đẳng thức này đúng với mọi \(x\), nên các hệ số của \(x\) ở hai vế phải bằng nhau, và các hằng số tự do ở hai vế cũng phải bằng nhau. Từ đó, ta có hệ phương trình:

\(2a = 2 \Rightarrow a = 1\)
\(a+b = -3\)

Thay \(a=1\) vào phương trình thứ hai:
\(1+b = -3 \Rightarrow b = -4\)

Như vậy, ta đã tìm được \(a=1\) và \(b=-4\). (Chú ý rằng hệ số \(c\) bị triệt tiêu trong phép trừ này, nên giá trị của \(c\) không ảnh hưởng đến hiệu \(f(x+1) – f(x)\) và do đó, không ảnh hưởng đến giá trị của \(P\)).

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức \(f(5) – f(2)\).

Chúng ta có thể sử dụng trực tiếp đẳng thức \(f(x+1) – f(x) = 2x – 3\).
Chúng ta muốn tính \(f(5) – f(2)\). Hãy viết các hiệu liên tiếp:

• Với \(x=2\): \(f(2+1) – f(2) = f(3) – f(2) = 2(2) – 3 = 4 – 3 = 1\)
• Với \(x=3\): \(f(3+1) – f(3) = f(4) – f(3) = 2(3) – 3 = 6 – 3 = 3\)
• Với \(x=4\): \(f(4+1) – f(4) = f(5) – f(4) = 2(4) – 3 = 8 – 3 = 5\)

Bây giờ, chúng ta cộng ba đẳng thức này lại (Đây là một dạng tổng “telescoping” – tổng các số hạng liên tiếp mà các số hạng ở giữa sẽ tự triệt tiêu):

\((f(3) – f(2)) + (f(4) – f(3)) + (f(5) – f(4)) = 1 + 3 + 5\)
\(f(3) – f(2) + f(4) – f(3) + f(5) – f(4) = 9\)
Các số hạng \(f(3)\) và \(-f(3)\) triệt tiêu, \(f(4)\) và \(-f(4)\) triệt tiêu.
Vậy, ta còn lại:
\(f(5) – f(2) = 9\)

Cách khác (kiểm tra lại bằng cách sử dụng \(a\) và \(b\)):
Với \(a=1\) và \(b=-4\), hàm số của chúng ta có dạng \(f(x) = x^2 – 4x + c\).
\(f(5) = 5^2 – 4(5) + c = 25 – 20 + c = 5 + c\)
\(f(2) = 2^2 – 4(2) + c = 4 – 8 + c = -4 + c\)
\(f(5) – f(2) = (5+c) – (-4+c) = 5+c+4-c = 9\)
Kết quả này hoàn toàn khớp với cách trên, điều này củng cố niềm tin vào lời giải của chúng ta.

Bước 3: Tính giá trị của \(P\).

Theo đề bài, \(P = \frac{f(5) – f(2)}{9}\).
Chúng ta đã tính được \(f(5) – f(2) = 9\).
Vậy:
\(P = \frac{9}{9} = 1\)

Kết luận:

Vậy giá trị của biểu thức cần tìm là \(P = 1\).

Các em thấy không, bài toán này tuy nhìn có vẻ phức tạp nhưng nếu chúng ta phân tích từng bước và áp dụng đúng các tính chất thì sẽ tìm ra lời giải một cách rõ ràng. Hãy luôn kiên nhẫn và cẩn thận trong từng bước làm nhé!