Cho góc xOy. Vẽ tia phân giác của Ot của góc xOy. Từ M bất kỳ trên…

Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Thầy/cô rất vui được đồng hành cùng các em trong chuyên mục hình học hôm nay. Để giải quyết bài toán này một cách dễ hiểu nhất, chúng ta hãy cùng nhau vẽ hình và đi từng bước một nhé.

Phần 1: Chứng minh tứ giác OAMB là hình thoi

Để chứng minh một tứ giác là hình thoi, chúng ta có nhiều cách. Ở đây, con đường ngắn nhất và dễ thấy nhất là chứng minh tứ giác này có các cặp cạnh đối song song (để là hình bình hành) rồi kết hợp với tính chất của tia phân giác.

• Bước 1: Chứng minh OAMB là hình bình hành. Theo giả thiết, từ điểm M trên tia phân giác, ta vẽ đường thẳng song song với Ox cắt Oy tại A, nên ta có AM song song với OB. Tương tự, vẽ đường thẳng song song với Oy cắt Ox tại B, nên ta có BM song song với OA. Một tứ giác có các cặp cạnh đối song song với nhau thì tứ giác đó là hình bình hành. Vậy tứ giác OAMB là hình bình hành.
• Bước 2: Sử dụng tính chất tia phân giác để ra hình thoi. Trong hình bình hành OAMB vừa tìm được, ta có Ot chính là tia phân giác của góc xOy (hay góc AOB). Theo tính chất hình học, đường chéo của hình bình hành đồng thời là tia phân giác của một góc sẽ biến hình bình hành đó thành hình thoi. Nói cách khác, ta dễ dàng chứng minh được tam giác OBM là tam giác cân tại B dựa vào các góc so le trong (do BM song song với OA). Suy ra cạnh OB bằng cạnh OM, mà OB bằng AM (cạnh đối hình bình hành) và OA bằng BM. Do đó, hình bình hành OAMB có bốn cạnh bằng nhau và chính thức trở thành hình thoi.

Phần 2: Chứng minh tam giác OPQ cân

Sau khi đã có kết quả từ phần đầu tiên, chúng ta tiếp tục khai thác các dữ kiện mới để giải quyết yêu cầu thứ hai.

• Bước 1: Phân tích góc tạo bởi đường thẳng song song. Đề bài cho đường thẳng đi qua M và song song với AB, cắt Ox tại P và Oy tại Q. Vì đường thẳng PQ song song với AB, kết hợp với các góc đồng vị và so le trong, ta sẽ liên kết được các góc của tam giác OPQ với các góc của hình thoi OAMB ban đầu.
• Bước 2: Chứng minh hai góc ở đáy bằng nhau. Vì OAMB là hình thoi nên hai góc ở đỉnh O được chia đều bởi đường chéo, và các góc đối của hình thoi bằng nhau. Khi đường thẳng PQ song song với AB cắt hai cạnh của góc xOy, nó tạo ra tam giác OPQ có đỉnh là O. Xét các góc của tam giác OPQ, ta thấy góc OPQ bằng với góc OAB (hai góc đồng vị), và góc OQP bằng với góc OBA (hai góc đồng vị).
• Bước 3: Kết luận. Mà trong hình thoi OAMB, hai góc ở đỉnh A và B (chính là góc OAB và góc OBA) là hai góc của hình thoi nên chúng bằng nhau. Từ đó suy ra góc OPQ bằng với góc OQP. Một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Vậy tam giác OPQ cân tại O (vì có OP bằng OQ).

Lời khuyên từ giáo viên: Hình học lớp 8 đòi hỏi các em phải nắm chắc các dấu hiệu nhận biết hình bình hành, hình thoi và tính chất của các góc tạo bởi đường thẳng song song. Hãy luôn vẽ hình thật chính xác, tô màu hoặc ký hiệu các đoạn thẳng bằng nhau lên hình vẽ để bộ não dễ dàng nhận ra hướng giải quyết nhé. Chúc các em học tập thật tốt!