Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đạo hàm f'(x)= (3…

Chào các em học sinh lớp 12 yêu quý! Thầy/cô xin hướng dẫn các em giải chi tiết bài toán tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số này theo các bước chuẩn xác nhất cho kỳ thi tốt nghiệp THPT.

Bước 1: Tìm đạo hàm và xét dấu đạo hàm

Theo đề bài, ta đã có sẵn đạo hàm của hàm số là f phẩy x bằng mở ngoặc 3 trừ 4x đóng ngoặc nhân với mở ngoặc trừ 3x trừ 5 đóng ngoặc mũ 5.

Để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, trước tiên ta cần giải phương trình f phẩy x bằng 0:

• Mở ngoặc 3 trừ 4x đóng ngoặc bằng 0 tương đương với x bằng 3 phần 4.
• Mở ngoặc trừ 3x trừ 5 đóng ngoặc mũ 5 bằng 0 tương đương với trừ 3x trừ 5 bằng 0, tức là x bằng trừ 5 phần 3.

Vậy đạo hàm có hai nghiệm là x bằng trừ 5 phần 3 và x bằng 3 phần 4. Đây là các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0.

Bước 2: Lập bảng xét dấu đạo hàm

Ta sắp xếp các nghiệm theo thứ tự từ nhỏ đến lớn trên trục số để xét dấu biểu thức f phẩy x:

• Khoảng thứ nhất từ âm vô cực đến trừ 5 phần 3.
• Khoảng thứ hai từ trừ 5 phần 3 đến 3 phần 4.
• Khoảng thứ ba từ 3 phần 4 đến dương vô cực.

Cách xét dấu nhanh như sau:

• Với x bằng 0 (nằm trong khoảng từ trừ 5 phần 3 đến 3 phần 4), ta thay vào f phẩy x: ta được 3 nhân với mở ngoặc trừ 5 đóng ngoặc mũ 5, kết quả mang dấu âm. Do qua nghiệm đơn x bằng trừ 5 phần 3 và nghiệm bội lẻ x bằng 3 phần 4, dấu của đạo hàm sẽ đan xen nhau.
• Cụ thể, trên khoảng từ âm vô cực đến trừ 5 phần 3, f phẩy x mang dấu âm.
• Trên khoảng từ trừ 5 phần 3 đến 3 phần 4, f phẩy x mang dấu dương.
• Trên khoảng từ 3 phần 4 đến dương vô cực, f phẩy x mang dấu âm.

Bước 3: Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến

Dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm, ta kết luận tính đơn điệu của hàm số như sau:

• Khoảng đồng biến: Hàm số đồng biến trên khoảng từ trừ 5 phần 3 đến 3 phần 4 (vì tại đây đạo hàm mang dấu dương).
• Khoảng nghịch biến: Hàm số nghịch biến trên các khoảng từ âm vô cực đến trừ 5 phần 3 và từ 3 phần 4 đến dương vô cực (vì tại đây đạo hàm mang dấu âm).

Lời khuyên từ giáo viên: Đối với dạng bài toán này, các em cần cẩn thận khi tìm nghiệm của đạo hàm và chú ý tính chất đổi dấu qua nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ để tránh mất điểm đáng tiếc nhé. Chúc các em học tập thật tốt!