Chào các em học sinh!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thuộc chuyên đề hàm số bậc nhất và đồ thị của nó. Đây là một dạng bài khá cơ bản nhưng rất quan trọng, giúp các em củng cố kiến thức về mối liên hệ giữa hàm số và điểm thuộc đồ thị.

Đề bài: Cho hàm số \(y = ( m – 3 )x + 2n – 5\) \((1)\) có đồ thị là đường thẳng \(d\) (với \(m,n\) là tham số ). Tìm \(m,n\) để đường thẳng \(d\) đi qua 2 điểm \(A(-1;2)\) và \(B(2;4)\).

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để đường thẳng \(d\) đi qua một điểm có tọa độ \((x_0; y_0)\), thì khi chúng ta thay \(x = x_0\) và \(y = y_0\) vào phương trình của đường thẳng, phương trình đó phải được thỏa mãn (hay nói cách khác, các giá trị đó phải làm cho phương trình đúng).

Trong bài toán này, đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A(-1;2)\) và \(B(2;4)\). Điều này có nghĩa là tọa độ của điểm \(A\) và tọa độ của điểm \(B\) đều phải thỏa mãn phương trình của hàm số \((1)\). Từ đó, chúng ta sẽ lập được một hệ phương trình với hai ẩn là \(m\) và \(n\).

Bước 1: Thay tọa độ điểm A(-1;2) vào phương trình hàm số (1).

Vì đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(-1;2)\), ta thay \(x = -1\) và \(y = 2\) vào phương trình \(y = ( m – 3 )x + 2n – 5\), ta được:

\(2 = (m – 3)(-1) + 2n – 5\)
\(2 = -m + 3 + 2n – 5\)
\(2 = -m + 2n – 2\)
Chuyển các hạng tử chứa \(m, n\) sang một vế và hằng số sang vế còn lại, ta có:
\(m – 2n = -2 – 2\)
\(m – 2n = -4\) \((I)\)

Bước 2: Thay tọa độ điểm B(2;4) vào phương trình hàm số (1).

Tương tự, vì đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(B(2;4)\), ta thay \(x = 2\) và \(y = 4\) vào phương trình \(y = ( m – 3 )x + 2n – 5\), ta được:

\(4 = (m – 3)(2) + 2n – 5\)
\(4 = 2m – 6 + 2n – 5\)
\(4 = 2m + 2n – 11\)
Chuyển các hạng tử chứa \(m, n\) sang một vế và hằng số sang vế còn lại, ta có:
\(2m + 2n = 4 + 11\)
\(2m + 2n = 15\) \((II)\)

Bước 3: Giải hệ phương trình gồm (I) và (II) để tìm \(m\) và \(n\).

Từ Bước 1 và Bước 2, chúng ta có một hệ phương trình tuyến tính với hai ẩn \(m\) và \(n\) như sau:

\(\left\{ \begin{array}{l} m – 2n = -4 \quad (I) \\ 2m + 2n = 15 \quad (II) \end{array} \right.\)

Chúng ta có thể giải hệ này bằng phương pháp cộng đại số (cộng vế theo vế) vì hệ số của \(n\) trong hai phương trình là đối nhau (\(-2n\) và \(+2n\)).

Cộng phương trình \((I)\) với phương trình \((II)\), ta được:

\((m – 2n) + (2m + 2n) = -4 + 15\)
\(m + 2m – 2n + 2n = 11\)
\(3m = 11\)
\(m = \frac{11}{3}\)

Bây giờ, chúng ta thay giá trị của \(m = \frac{11}{3}\) vào một trong hai phương trình \((I)\) hoặc \((II)\) để tìm \(n\). Cô sẽ thay vào phương trình \((I)\) vì nó đơn giản hơn:

\(m – 2n = -4\)
\(\frac{11}{3} – 2n = -4\)
Chuyển \(\frac{11}{3}\) sang vế phải:
\(-2n = -4 – \frac{11}{3}\)
Để trừ hai phân số, chúng ta quy đồng mẫu số (mẫu chung là 3):
\(-2n = -\frac{12}{3} – \frac{11}{3}\)
\(-2n = -\frac{23}{3}\)
Để tìm \(n\), ta chia cả hai vế cho \(-2\) (hoặc nhân với \(-\frac{1}{2}\)):
\(n = \frac{-23/3}{-2}\)
\(n = \frac{23}{6}\)

Kiểm tra lại (nên thực hiện để đảm bảo kết quả chính xác):

Thay \(m = \frac{11}{3}\) và \(n = \frac{23}{6}\) vào phương trình hàm số ban đầu:
\(y = \left( \frac{11}{3} – 3 \right)x + 2\left( \frac{23}{6} \right) – 5\)
\(y = \left( \frac{11}{3} – \frac{9}{3} \right)x + \frac{23}{3} – \frac{15}{3}\)
\(y = \frac{2}{3}x + \frac{8}{3}\)

Với điểm \(A(-1;2)\): \(2 = \frac{2}{3}(-1) + \frac{8}{3} = -\frac{2}{3} + \frac{8}{3} = \frac{6}{3} = 2\). (Đúng)

Với điểm \(B(2;4)\): \(4 = \frac{2}{3}(2) + \frac{8}{3} = \frac{4}{3} + \frac{8}{3} = \frac{12}{3} = 4\). (Đúng)

Kết luận:

Vậy, để đường thẳng \(d\) đi qua 2 điểm \(A(-1;2)\) và \(B(2;4)\), các tham số \(m\) và \(n\) phải có giá trị là:

\(m = \frac{11}{3}\)
\(n = \frac{23}{6}\)

Các em nhớ nắm vững cách lập hệ phương trình và giải hệ phương trình nhé! Đây là kỹ năng rất quan trọng trong nhiều dạng bài toán khác nhau.

Chúc các em học tốt!