Xin chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lượng giác. Đây là một dạng bài rất quen thuộc trong chương trình Toán lớp 11, đòi hỏi chúng ta phải biết cách đưa về hàm số bậc hai và xét trên một miền giá trị xác định.

Bài toán của chúng ta là:

Cho hàm số \(y = sin^2 x + sin x – 3\). Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng bao nhiêu?

Chúng ta cùng đi vào phân tích và giải quyết bài toán này nhé!

Để đơn giản hóa hàm số đã cho, ta nhận thấy rằng cả hai số hạng đều chứa \(sin x\). Vì vậy, ta sẽ đặt một ẩn phụ cho \(sin x\).

Đặt \(t = sin x\)

Vì \(sin x\) là một hàm số lượng giác, chúng ta biết rằng giá trị của \(sin x\) luôn nằm trong khoảng \([-1, 1]\). Do đó, miền giá trị của ẩn \(t\) là:

\(-1 \le t \le 1\)

Khi đặt \(t = sin x\), hàm số ban đầu \(y = sin^2 x + sin x – 3\) sẽ trở thành:

\(f(t) = t^2 + t – 3\)

Bây giờ, bài toán của chúng ta chuyển về việc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bậc hai \(f(t) = t^2 + t – 3\) trên đoạn \([-1, 1]\).

Hàm số \(f(t) = t^2 + t – 3\) là một hàm bậc hai có dạng \(at^2 + bt + c\) với \(a = 1, b = 1, c = -3\).

Vì hệ số \(a = 1 > 0\), đồ thị của hàm số này là một parabol quay bề lõm lên trên. Giá trị nhỏ nhất của parabol sẽ đạt tại đỉnh của nó.

Tọa độ đỉnh của parabol là \(t_0 = -b/(2a)\).

Thay số vào, ta có: \(t_0 = -1/(2 \cdot 1) = -1/2\)

Bây giờ chúng ta cần kiểm tra xem điểm đỉnh này có thuộc miền \([-1, 1]\) mà chúng ta đang xét hay không.

Ta thấy rằng \(-1 \le -1/2 \le 1\), vậy \(t_0 = -1/2\) nằm trong đoạn \([-1, 1]\).

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, chúng ta sẽ tính giá trị của hàm số tại các điểm sau:

1. Điểm đỉnh (nếu nằm trong đoạn).
2. Các điểm mút của đoạn.

Ta sẽ tính các giá trị của \(f(t)\) tại \(t = -1/2\), \(t = -1\) và \(t = 1\):

1. Tại \(t = -1/2\) (điểm đỉnh):

\(f(-1/2) = (-1/2)^2 + (-1/2) – 3\)

\(f(-1/2) = 1/4 – 1/2 – 3\)

\(f(-1/2) = 1/4 – 2/4 – 12/4\)

\(f(-1/2) = (1 – 2 – 12)/4 = -13/4\)

2. Tại \(t = -1\) (điểm mút trái):

\(f(-1) = (-1)^2 + (-1) – 3\)

\(f(-1) = 1 – 1 – 3\)

\(f(-1) = -3\)

3. Tại \(t = 1\) (điểm mút phải):

\(f(1) = (1)^2 + (1) – 3\)

\(f(1) = 1 + 1 – 3\)

\(f(1) = -1\)

Bây giờ chúng ta so sánh ba giá trị vừa tìm được: \(-13/4\), \(-3\), \(-1\).

Để so sánh dễ hơn, ta có thể đổi \(-13/4 = -3.25\).

Vậy, các giá trị là: \(-3.25\), \(-3\), \(-1\).

Từ đó, ta có thể kết luận:

• Giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số \(y\) là \(Max = -1\) (đạt được khi \(t=1\), tức \(sin x = 1\)).
• Giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \(y\) là \(Min = -13/4\) (đạt được khi \(t=-1/2\), tức \(sin x = -1/2\)).

Theo yêu cầu của đề bài, chúng ta cần tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Tổng = \(Max + Min\)

Tổng = \(-1 + (-13/4)\)

Tổng = \(-4/4 – 13/4\)

Tổng = \(-17/4\)

Vậy, tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là \(-17/4\).

Qua bài toán này, các em đã ôn lại cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ, đưa về xét hàm bậc hai trên một đoạn. Hãy nhớ rằng bước xác định miền giá trị của ẩn phụ là cực kỳ quan trọng nhé!

Chúc các em học tốt và luôn yêu thích môn Toán!

Thân ái!