Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán quen thuộc về việc tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số trên một đoạn, có chứa tham số. Đây là dạng toán thường gặp trong các kì thi, đòi hỏi các em phải nắm vững kiến thức về đạo hàm và cách khảo sát hàm số.

Đề bài: Cho hàm số \(y = x^{3} – 2x^{2} – 7x + m\). Tìm \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \( [0,2] \) bằng 1.

Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và trình bày bài giải một cách chi tiết nhất nhé!

Lời giải chi tiết:

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = x^{3} – 2x^{2} – 7x + m\) trên đoạn \( [0,2] \), chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số.

Hàm số đã cho là \(f(x) = x^{3} – 2x^{2} – 7x + m\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số:

\[
f'(x) = \frac{d}{dx} (x^{3} – 2x^{2} – 7x + m)
\]
\[
f'(x) = 3x^{2} – 4x – 7
\]

Bước 2: Tìm các điểm cực trị (nếu có) thuộc khoảng \( (0,2) \).

Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình \(f'(x) = 0\):

\[
3x^{2} – 4x – 7 = 0
\]

Đây là một phương trình bậc hai. Ta có thể giải bằng cách dùng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử.

Xét \(a=3, b=-4, c=-7\). Ta có \(a-b+c = 3 – (-4) + (-7) = 3 + 4 – 7 = 0\).
Vì vậy, phương trình có hai nghiệm là \(x_{1} = -1\) và \(x_{2} = -\frac{c}{a} = -\frac{-7}{3} = \frac{7}{3}\).

Bây giờ, chúng ta kiểm tra xem các nghiệm này có thuộc khoảng \( (0,2) \) hay không:

• Với \(x_{1} = -1\): Giá trị này không thuộc khoảng \( (0,2) \).
• Với \(x_{2} = \frac{7}{3}\): Vì \( \frac{7}{3} \approx 2.33 \), giá trị này cũng không thuộc khoảng \( (0,2) \).

Như vậy, trên khoảng mở \( (0,2) \), hàm số không có điểm cực trị nào. Điều này có nghĩa là hàm số sẽ đồng biến hoặc nghịch biến trên toàn bộ đoạn \( [0,2] \).

Để kiểm tra tính đơn điệu, ta xét dấu của \(f'(x)\) trên đoạn \( [0,2] \). Ta có \(f'(x) = 3x^{2} – 4x – 7\).
Vì các nghiệm của \(f'(x) = 0\) là \(-1\) và \(\frac{7}{3}\), và hệ số của \(x^2\) là \(3 > 0\), nên \(f'(x)\) sẽ mang dấu âm giữa hai nghiệm đó.

Cụ thể, trên khoảng \( (-1, \frac{7}{3}) \), \(f'(x) < 0\). Do đoạn \( [0,2] \) nằm hoàn toàn trong khoảng \( (-1, \frac{7}{3}) \), nên \(f'(x) < 0\) với mọi \(x \in [0,2]\).

Điều này chứng tỏ hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên đoạn \( [0,2] \).

Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút của đoạn.

Vì hàm số nghịch biến trên đoạn \( [0,2] \), giá trị lớn nhất sẽ đạt được tại điểm đầu mút bên trái và giá trị nhỏ nhất sẽ đạt được tại điểm đầu mút bên phải.

Tính giá trị của hàm số tại \(x=0\):

\[
f(0) = (0)^{3} – 2(0)^{2} – 7(0) + m = m
\]

Tính giá trị của hàm số tại \(x=2\):

\[
f(2) = (2)^{3} – 2(2)^{2} – 7(2) + m
\]
\[
f(2) = 8 – 2(4) – 14 + m
\]
\[
f(2) = 8 – 8 – 14 + m
\]
\[
f(2) = -14 + m
\]

Bước 4: Xác định giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \( [0,2] \).

Vì hàm số nghịch biến trên đoạn \( [0,2] \), ta có:

\[
\max_{x \in [0,2]} f(x) = f(0) = m
\]

Nếu hàm số không đơn điệu trên đoạn, chúng ta sẽ so sánh tất cả các giá trị \(f(0)\), \(f(2)\) và \(f(x_c)\) (với \(x_c\) là các điểm cực trị thuộc khoảng \( (0,2) \)) để tìm giá trị lớn nhất.

Bước 5: Giải phương trình tìm \(m\).

Theo đề bài, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \( [0,2] \) bằng 1. Do đó, ta có phương trình:

\[
m = 1
\]

Vậy, giá trị của \(m\) cần tìm là \(1\).

Kết luận:

Để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = x^{3} – 2x^{2} – 7x + m\) trên đoạn \( [0,2] \) bằng 1, thì \(m = 1\).

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững hơn phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn. Chúc các em học tốt và đạt được kết quả cao trong các kì thi sắp tới!

Thân ái,

Giáo viên Toán.