Bài toán: Cho hàm số \(y = x^3 – 3x^2 + 2\) trên đoạn \((0, 3)\). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số.

Đầu tiên, chúng ta cần tính đạo hàm bậc nhất của hàm số \(y = x^3 – 3x^2 + 2\).
Ta có: \(y’ = \frac{d}{dx}(x^3 – 3x^2 + 2)\)
\(y’ = 3x^2 – 3 \cdot 2x + 0\)
\(y’ = 3x^2 – 6x\)

Bước 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số.

Các điểm cực trị là những điểm mà đạo hàm bậc nhất bằng 0 hoặc không xác định. Trong trường hợp này, đạo hàm \(y’ = 3x^2 – 6x\) luôn xác định với mọi \(x\).
Ta cho \(y’ = 0\):
\(3x^2 – 6x = 0\)
\(3x(x – 2) = 0\)
Vậy, ta có hai nghiệm là \(x = 0\) và \(x = 2\).

Bước 3: Xét các điểm nằm trong đoạn đã cho và các điểm cực trị thuộc đoạn đó.

Đoạn chúng ta đang xét là \((0, 3)\).
– Điểm \(x = 0\) không thuộc đoạn mở \((0, 3)\).
– Điểm \(x = 2\) thuộc đoạn mở \((0, 3)\).
– Chúng ta cũng cần xem xét các điểm mút của đoạn, nhưng vì đoạn là đoạn mở nên chúng ta không xét trực tiếp các điểm 0 và 3. Tuy nhiên, chúng ta sẽ tính giá trị của hàm số tại các điểm này để xem xu hướng của hàm số.
Vì vậy, chúng ta sẽ tính giá trị của hàm số tại \(x = 2\) và xem xét giới hạn của hàm số tại các điểm mút 0 và 3.

Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cần xét.

Tính giá trị của hàm số tại điểm cực trị \(x = 2\):
\(y(2) = (2)^3 – 3(2)^2 + 2\)
\(y(2) = 8 – 3(4) + 2\)
\(y(2) = 8 – 12 + 2\)
\(y(2) = -2\)

Bây giờ, chúng ta sẽ xét giới hạn của hàm số tại các điểm mút của đoạn \((0, 3)\) để hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số trên đoạn này:

Giới hạn khi \(x\) tiến về 0 từ phía bên phải:
\(\lim_{x \to 0^+} (x^3 – 3x^2 + 2) = 0^3 – 3(0)^2 + 2 = 2\)

Giới hạn khi \(x\) tiến về 3 từ phía bên trái:
\(\lim_{x \to 3^-} (x^3 – 3x^2 + 2) = 3^3 – 3(3)^2 + 2\)
\(\lim_{x \to 3^-} (x^3 – 3x^2 + 2) = 27 – 3(9) + 2\)
\(\lim_{x \to 3^-} (x^3 – 3x^2 + 2) = 27 – 27 + 2\)
\(\lim_{x \to 3^-} (x^3 – 3x^2 + 2) = 2\)

Bước 5: So sánh các giá trị tìm được để xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Chúng ta có giá trị của hàm số tại điểm cực trị thuộc đoạn là \(y(2) = -2\).
Chúng ta cũng xem xét giá trị của hàm số tại các “biên” của đoạn mở: giá trị tiến về 2 khi \(x\) tiến về 0 và khi \(x\) tiến về 3.

So sánh các giá trị này, ta thấy:

• Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \((0, 3)\) là \(-2\), đạt được tại \(x = 2\).
• Vì hàm số tiến về 2 ở cả hai đầu của đoạn mở \((0, 3)\) và có giá trị nhỏ hơn 2 tại điểm \(x=2\), nên giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \((0, 3)\) là không đạt được trên đoạn mở này, nhưng nó “tiến gần” đến 2. Tuy nhiên, theo quy ước trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn mở, chúng ta sẽ xem xét giá trị nhỏ nhất và giới hạn ở các đầu mút.

Kết luận:

Trên đoạn \((0, 3)\), hàm số \(y = x^3 – 3x^2 + 2\) có:

• Giá trị nhỏ nhất: \(-2\), đạt được tại \(x = 2\).
• Giá trị lớn nhất: Hàm số không đạt được giá trị lớn nhất trên đoạn mở \((0, 3)\) vì nó tiến dần về 2 ở hai đầu mút nhưng không bao giờ đạt được giá trị này trên đoạn mở. Nếu đề bài là đoạn đóng \([0, 3]\), thì giá trị lớn nhất sẽ là 2. Tuy nhiên, với đoạn mở \((0, 3)\), chúng ta chỉ có thể nói rằng giá trị lớn nhất “tiệm cận” đến 2.

Các em có thể đặt câu hỏi nếu có bất kỳ điều gì chưa rõ.