Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, thầy/cô trò chúng ta sẽ cùng nhau phân tích một bài toán về tính đơn điệu của hàm số. Đây là một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán 12. Để xét tính đúng sai của các khẳng định về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Hàm số đã cho là: \(y = \frac{2x+1}{-x+1}\)

1. Tìm tập xác định của hàm số:

Hàm số là một hàm phân thức, do đó mẫu số phải khác 0.

\(-x+1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1\)

Vậy, tập xác định của hàm số là \(D = R \setminus \{1\}\) hay \(D = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\).

2. Tính đạo hàm của hàm số:

Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số, chúng ta cần tính đạo hàm cấp một của nó. Hàm số có dạng \(y = \frac{ax+b}{cx+d}\).

Công thức đạo hàm nhanh cho dạng này là \(y’ = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}\).

Áp dụng vào hàm số đã cho, ta có: \(a=2, b=1, c=-1, d=1\).

Vậy, \(y’ = \frac{(2)(1) – (1)(-1)}{(-x+1)^2}\)

\(y’ = \frac{2 – (-1)}{(-x+1)^2}\)

\(y’ = \frac{2 + 1}{(-x+1)^2}\)

\(y’ = \frac{3}{(-x+1)^2}\)

3. Xét dấu của đạo hàm:

Ta thấy rằng:

• Tử số là \(3 > 0\).
• Mẫu số là \((-x+1)^2\). Vì là bình phương của một biểu thức, và \(-x+1 \neq 0\) (do \(x \neq 1\)), nên \((-x+1)^2 > 0\) với mọi \(x \neq 1\).

Do đó, \(y’ = \frac{3}{(-x+1)^2} > 0\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định \(D = R \setminus \{1\}\).

4. Kết luận về tính đơn điệu của hàm số:

Vì \(y’ > 0\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định, nên hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

Cụ thể, hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty; 1)\) và đồng biến trên khoảng \((1; +\infty)\).

Lưu ý quan trọng: Chúng ta không nói hàm số đồng biến trên \(R \setminus \{1\}\) hay trên \((-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\) bởi vì hàm số gián đoạn tại \(x=1\). Khái niệm “đồng biến trên một tập hợp” yêu cầu tập hợp đó phải là một khoảng (hoặc đoạn) và hàm số liên tục trên đó.

5. Xét tính đúng sai của từng khẳng định:

a) Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;1)\)
Theo phân tích ở bước 4, \(y’ > 0\) trên khoảng \((-\infty;1)\). Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này.

Kết luận: Khẳng định a) là ĐÚNG.

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng \((2;+\infty)\)
Chúng ta đã kết luận \(y’ > 0\) trên khoảng \((1;+\infty)\), và khoảng \((2;+\infty)\) là một tập con của \((1;+\infty)\). Vì vậy, hàm số đồng biến trên khoảng \((2;+\infty)\), không phải nghịch biến.

Kết luận: Khẳng định b) là SAI.

c) Hàm số đồng biến trên khoảng \((2023;2026)\)
Khoảng \((2023;2026)\) là một khoảng con của \((1;+\infty)\). Trên khoảng này, \(y’ > 0\). Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này.

Kết luận: Khẳng định c) là ĐÚNG.

d) Hàm số đồng biến trên \(R \setminus \{1\}\)
Mặc dù hàm số đồng biến trên \((-\infty; 1)\) và đồng biến trên \((1; +\infty)\), nhưng chúng ta không thể nói hàm số đồng biến trên toàn bộ tập \(R \setminus \{1\}\). Lý do là tại \(x=1\), hàm số không xác định và gián đoạn. Tập \(R \setminus \{1\}\) không phải là một khoảng.
Để hiểu rõ hơn, xét hai giá trị \(x_1=0\) và \(x_2=2\). Ta có \(x_1 < x_2\).
Tính giá trị của hàm số tại \(x_1\) và \(x_2\):
\(y(x_1) = y(0) = \frac{2(0)+1}{-0+1} = \frac{1}{1} = 1\)
\(y(x_2) = y(2) = \frac{2(2)+1}{-2+1} = \frac{5}{-1} = -5\)
Ta thấy \(y(x_1) = 1 > y(x_2) = -5\), mặc dù \(x_1 < x_2\). Điều này mâu thuẫn với định nghĩa hàm số đồng biến trên một tập hợp chứa cả \(x_1\) và \(x_2\).

Kết luận: Khẳng định d) là SAI.

Tóm tắt kết quả:

• Khẳng định a): ĐÚNG
• Khẳng định b): SAI
• Khẳng định c): ĐÚNG
• Khẳng định d): SAI

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách xét tính đơn điệu của hàm số và các lưu ý quan trọng khi kết luận.