Chúng ta có hàm số đã cho là \(y = x^2 – 2x – 3\).

a) Tìm các giá trị \(x\) để \(y < 0\)

Để tìm các giá trị \(x\) mà tại đó \(y < 0\), chúng ta cần giải bất phương trình: \(x^2 - 2x - 3 < 0\) Đây là một bất phương trình bậc hai. Để giải nó, chúng ta sẽ tìm nghiệm của phương trình bậc hai tương ứng \(x^2 - 2x - 3 = 0\). Chúng ta có thể sử dụng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử. Ở đây, chúng ta sẽ phân tích thành nhân tử. Ta cần tìm hai số có tích bằng -3 và tổng bằng -2. Hai số đó là -3 và 1. Vậy, ta có thể viết lại phương trình thành: \((x - 3)(x + 1) = 0\) Từ đó, ta tìm được hai nghiệm là: \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\) \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\) Bây giờ, chúng ta đã biết các nghiệm của phương trình \(x^2 - 2x - 3 = 0\) là \(x = -1\) và \(x = 3\). Vì đây là một tam thức bậc hai có hệ số của \(x^2\) là \(a = 1 > 0\), đồ thị của hàm số \(y = x^2 – 2x – 3\) là một parabol có bề lõm quay lên trên.
Điều này có nghĩa là tam thức bậc hai \(x^2 – 2x – 3\) sẽ nhận giá trị âm nằm giữa hai nghiệm của nó.

Do đó, để \(x^2 – 2x – 3 < 0\), thì \(x\) phải nằm trong khoảng giữa -1 và 3. Vậy, các giá trị \(x\) để \(y < 0\) là: \(-1 < x < 3\) Chúng ta có thể viết tập nghiệm là khoảng \((-1, 3)\). b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Hàm số đã cho là \(y = x^2 – 2x – 3\). Đây là một hàm số bậc hai có dạng \(y = ax^2 + bx + c\), với \(a = 1\), \(b = -2\), và \(c = -3\).
Vì hệ số \(a = 1 > 0\), đồ thị của hàm số này là một parabol có bề lõm quay lên trên. Do đó, hàm số sẽ có một giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của parabol.

Tọa độ đỉnh của parabol \((x_v, y_v)\) được tính theo công thức:
\(x_v = -\frac{b}{2a}\)
\(y_v = -\frac{\Delta}{4a}\) (hoặc thay \(x_v\) vào hàm số để tính \(y_v\))

Trước hết, chúng ta tính tọa độ hoành độ đỉnh \(x_v\):
\(x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = -\frac{-2}{2} = 1\)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay \(x_v = 1\) vào hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất \(y_v\):
\(y_v = (1)^2 – 2(1) – 3\)
\(y_v = 1 – 2 – 3\)
\(y_v = -1 – 3\)
\(y_v = -4\)

Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x^2 – 2x – 3\) là \(-4\), đạt được khi \(x = 1\).

Cô hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài tập này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!