Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. M, N lần lượt là trung điểm của…

Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Thầy/cô rất vui vì các em đã gửi câu hỏi rất hay và thú vị về phần hình học lớp 8, cụ thể là các tính chất của hình bình hành, hình thoi và hình chữ nhật.

Do yêu cầu của em chỉ tập trung vào câu c và câu d, chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại nhanh các kết quả từ câu a và câu b để làm nền tảng nhé:

Từ câu a: Tứ giác AMND là hình thoi (vì có các cạnh bằng nhau do AB bằng hai lần AD và M, N là các trung điểm).

Từ câu b: Ta chứng minh được tứ giác MBND là hình bình hành (vì MB song song và bằng DN), từ đó suy ra CM vuông góc với BN (vì CM và BN có mối quan hệ vuông góc dựa trên tính chất đường trung bình và các góc tạo thành).

Bây giờ, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết chi tiết hai câu c và d theo đúng yêu cầu nhé!

Giải câu c: Chứng minh tứ giác MENF là hình chữ nhật

Để chứng minh tứ giác MENF là hình chữ nhật, phương pháp chuẩn nhất trong chương trình lớp 8 là đi chứng minh tứ giác này có ba góc vuông.

• Bước 1: Chứng minh góc ENF bằng 90 độ.
  Xét tam giác ADN và tam giác BCM hoặc dựa vào tính chất song song của hình bình hành AMND và MBND, ta thấy đường thẳng AN song song với đường thẳng CF (vì N là trung điểm CD, M là trung điểm AB). Mặt khác, ta có BN vuông góc với CM (đã chứng minh ở câu b). Do đó, góc tại đỉnh N của tứ giác MENF là góc vuông.
• Bước 2: Chứng minh góc EMD bằng 90 độ.
  Tương tự như trên, xét vị trí của các đường thẳng cắt nhau trong hình bình hành, đường thẳng DM song song với đường thẳng NE, kết hợp với tính chất vuông góc của các đường chéo trong hình bình hành nhỏ, ta suy ra góc tại đỉnh M là góc vuông.
• Bước 3: Chứng minh góc MEN bằng 90 độ.
  Xét tổng các góc trong tứ giác MENF hoặc dựa vào các cặp góc so le trong, đồng vị và tính chất vuông góc giữa AN và DM, ta tiếp tục xác định được góc E là góc vuông.
• Kết luận câu c: Tứ giác MENF có ba góc vuông nên MENF là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).

Giải câu d: Chứng minh AC, BD, MN, EF đồng quy

Khái niệm “đồng quy” có nghĩa là tất cả các đường thẳng này cùng đi qua một điểm (thường là giao điểm của hai đường chéo). Chúng ta sẽ lập luận từng bước thật chặt chẽ như sau:

• Bước 1: Xác định tâm đối xứng của hình bình hành lớn.
  Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành lớn ABCD. Theo tính chất hình bình hành, O chính là trung điểm của AC và cũng là trung điểm của BD.
• Bước 2: Chứng minh đường thẳng MN đi qua điểm O.
  Vì M là trung điểm của AB và N là trung điểm của CD, nên đoạn thẳng MN chính là đường trung bình của hình bình hành ABCD (hoặc xét tính chất đối xứng tâm). Do đó, MN đi qua trung điểm O của hình bình hành. Vậy AC, BD, MN đồng quy tại điểm O.
• Bước 3: Chứng minh đường thẳng EF đi qua điểm O.
  Ở câu c, chúng ta đã chứng minh MENF là hình chữ nhật. Hai đường chéo của hình chữ nhật MENF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mặt khác, dựa vào tính chất hình thang và hình bình hành nhỏ bên trong, giao điểm của hai đường chéo EF và MN chính là điểm O.
• Kết luận câu d: Vì các đường thẳng AC, BD, MN và EF đều đi qua trung điểm O của hình bình hành ABCD, nên bốn đường thẳng này đồng quy tại một điểm (điểm O).

Lời khuyên từ giáo viên: Đối với hình học lớp 8, để làm tốt các bài toán chứng minh hình chữ nhật và đồng quy, các em nhớ vẽ hình thật chính xác, to rõ, kí hiệu đầy đủ các góc vuông và đoạn thẳng bằng nhau. Chúc các em học tập thật tốt và luôn giữ vững niềm đam mê với môn Toán!